とする． 問題 1.1 次の集合を括弧を使って表せ． (1) 数学の「普通」はこのような表示である．しかし，これを論理的に書けば ☆ である．これからはできるだけ☆のように表示して行きたい． (2) (3) < 但し，関数はある終域に属し，は選ばれた終域の中で，す…

とする．このとき (1) に対して (ア) (イ) (2) 分配法則 (ア) (イ) (3) (ア) (イ) が成立する． (証明) (1) (ア) を示す． を仮定する．このとき s.t. に対して と置けば，についてもが存在する．したがって，→-導入より と書ける．すなわち が成立する． (…

とする．このとき，次が成立する． (1) (ア) (イ) (2) (ア) (イ) (証明) (1) (ア) を示す． を仮定する．このとき，∨-導入より i.e. を得る．したがって，→-導入から(ア)が示された． (イ) (ア)と同様に示される． (2) (ア) を示す． を仮定する．このとき …

定理2.2 とする．このとき (ア) (イ) が成立する． (証明) (ア) ① を示す． を仮定する．このとき i.e. (選言三段論法) i.e. (選言三段論法) i.e. (∨-導入) i.e. i.e. したがって，→-導入より を得る． ② も①と同様に示される． (イ) ① を示す． を仮定する…

とする．このとき が成立する． (証明) を仮定し，を導出する．を仮定すると∧-除去より i.e. i.e. と書ける．ここで，を仮定すると→-除去より を得る．このようなに対して，→-除去を適用すれば が導き出される．それゆえ，→-導入より i.e. が示された．▢

とする．このとき，次のことが成り立つ． (ⅰ) (ⅱ) (ⅲ) (ⅰ)に関する補足 数学では強選言を採用していると考えるので，とは異なるものと考える．いま，に対して と書けるとする．このとき選言三段論法によって，を否定する．しかし，これは直接を否定している…

と置く．このときである． (証明) (⇒) s.t. を示す． を仮定すると，の条件より () と書くことができる．いま と置くと i.e. を得る．これより，→-導入から が成立する． (⇐) s.t. を示す． を仮定すると，の条件よりは和と積で閉じているので で表される．…

と置く．このときである． 補足 ではないので，ではない．それゆえ 乃至(強選言) とは表せない．ここで，強選言とは，どちらか一方が成立しそれを選べる，という意味である． (証明) s.t. を示す． を仮定するとの性質より () と書ける．いま と置けばである…

命題1.2 9項 とする．このとき次が成立する． (1) (2) (3) (証明) (1)について s.t. を示す．を仮定すると→-導入より であるから，これを量化すれば を得る． (2)について s.t. を示す．を仮定する．いま排中律より である．ここで，を仮定し，これに選言三…

例1.6 9項 と置く．このとき，である． (証明) を示す． (1) のとき に対して をいう．を仮定する．このとき s.t. s.t. i.e. i.e. である．したがって，これらを量化すれば を得る． (1) のとき s.t. に対して を示す．と仮定する．このとき s.t. s.t. i.e. …

部分集合の例1.5 9項 と置く．このときである． (証明) を示す． s.t. と置けば () であるから，量化より i.e. を得る．逆に s.t. と置くと () であるから，量化より i.e. である．したがって であるが，についてのときである．すなわち (量化) である．この…

ラッセルの背理 但しここではを限量しない．を集合と認めると，次のような矛盾が起こる．を集合と認めると，自身もの元である．すなわち である．今までの集合はたとえばは自分自身を元として含んでいない．したがって，集合とは ① 自分自身を元として含むも…

写像の定義 とする．このとき をの値域といいによる値と呼ぶ． (二重∀-除去) s.t. に対して となるようなを写像と呼ぶ．

定理2.7の系 23項 とする．このとき次が成立する． (ⅰ) (ⅱ) (ⅲ) (ⅳ) (証明)(ⅰ)について 定理2.7(ⅰ)より が成立する． (ⅱ)について (ⅰ)と同様． (ⅲ)について 定理2.7(ⅲ)より が成立する． (ⅳ)について (ⅲ)と同様．▢

ド・モルガンの法則 20項 (二重∀-除去) s.t. とする．このとき，次の等式が成立する． (ⅰ) (ⅱ) (ⅲ) (ⅳ) (証明) (ⅰ)について と置く． (二重∀-除去) s.t. (ア) (イ) を示す． (ア)に関して 0,1 (1) 仮定 i.e. 0,1 (2) 1.∧-除去 0,1 (3) 2.∨-導入 4 (4) 仮定 0…

命題2.6 19項 とする．このとき次の性質が成立する． (ⅰ) (ア) (イ) (ⅱ) (ⅲ) (ⅳ) (ⅴ) (証明) (ⅰ) (ア)について (二重∀-除去) s.t. を示す． 0,1 (1) 仮定 i.e. 0,1 (2) 1.∧-除去 0,1 (3) 1.∧-除去 0,1 (4) 2.∨-導入 0,1 (5) 3,4.三段論法 0 (6) 1-5.→-導入 (…

定義2.3 互いに素 18項 (二重∀-除去) s.t. とする．いま，が互いに交わらないときは互いに素である，という． i.e. 直和 互いに素な集合の和集合をの直和と呼び，記号であるいはと表す．但し，である． i.e. i.e. 但し，である．

定理2.5 17項 (∀-除去) s.t. とする．このとき，次が成立する． ☆注意 このような「～とする」の意味は，もしであるとき次が成り立つ，という仮定の話である． Ⅰ (ⅰ) (ⅱ) Ⅱ 分配法則 (ⅰ) (ⅱ) Ⅲ (ⅰ) (ⅱ) (証明) Ⅰ (ⅰ)について (∀-除去) s.t. を示す． 1 (1) …

定義2.2 16項 Ⅰ 和集合 (∀-除去) とする．このとき である． Ⅱ 共通集合 (∀-除去) (∀-除去) とする．このとき である．

命題2.4 15項 とする．このとき次が成立する． (1) (ア) (イ) (2) (3) (証明) (1) (ア)について (Ⅰ) (Ⅱ) を示す． (Ⅰ)に関して (∀-除去) をいう． 1 (1) 仮定 (2) 空集合の定義 (3) 1,2.三段論法 (4) 1-3.→-導入 (5) 4.∀-導入 (Ⅱ)に関して (∀-除去) をいう．…

定理2.3 分配法則 15項 とする．このとき次が成立する． (Ⅰ) (Ⅱ) (証明) (Ⅰ)について (ア) (イ) のうち(ア)のみを示す． (ア)に関して (∀-除去) i.e. をいう． 1 (1) 仮定 1 (2) 1.∧-除去 3 (3) 仮定 1 (4) 1.∧-除去 1,3 (5) 3,4.∧-導入 1,3 (6) 5.∨-導入 7 …

定理2.2 (結合法則) 14項 とする．このとき次が成立する． (1) (2) (証明) (1)について (ア) (イ) のうち，(イ)は(ア)と同様に示されるので，(ア)のみを示す． (ア)について (∀-除去) i.e. をいう． 1 (1) 仮定 2 (2) 仮定 3 (3) 仮定 3 (4) 3.∨-導入 5 (5) …

定理2.1 11項 とする．このとき次が成立する． (1) (ア) (イ) (2) (ア) (イ) (3) 交換法則 (ア) (イ) (証明) (1) (ア)について (∀-除去) を示す． i.e. (和集合の定義) 1 (1) 仮定 1 (2) 1.∨-導入 (3) 1-2.→-導入 (4) 3.∀-導入 i.e. したがって，(1)の(ア)を…

問題1.6 (2) 11項 とする．このとき () (∀-除去) に対して，の元の個数はであること，すなわち を示せ． (証明) 二重否定除去則で示す． 1 (1) 仮定 と置く．このときであるから，たとえばと置けば，冪集合の定義によりを構成できる． 1 (2) 冪集合の定義に…

定理1.3 10項 とする．このとき が成立する． (証明) (∀-除去) を示す． 1 (1) 仮定 2 (2) 仮定 1 (3) 1.∧-除去 1 (4) 1.∧-除去 1,2 (5) 2,3.→-除去 1,2 (6) 4,5.→-除去 1 (7) 2-6.→-導入 (8) 1-7.→-導入 (9) 8.∀-導入 したがって i.e. が示された．▢

命題1.2 9項 とする．このとき (Ⅰ) (Ⅱ) (Ⅲ) が成立する(真)． (証明) (Ⅰ)について 同一の原理よりであるから (∨-導入) を得る． (Ⅱ)について (∀-除去) の対偶 を示す． 補足 条件はであるが，論証は仮定の話(対偶)なのでを仮定してもと矛盾しない．この段階…

問題1.4 9項 と置く．このときが成立する． (証明) (∀-除去) (∀-除去) を示す． 1 (1) 仮定 i.e. 1 (2) 1. (3) 1-2.→-導入 (4) 3.∀-導入 それゆえ i.e. を得る．▢ 逆の包含関係 たとえば i.e. である．

問題1.4 9項 と置く．このときを示せ． (証明) (∀-除去) を示す． 1 (1) 仮定 1 (2) 1. (3) 1-2.→-導入 (4) 3.∀-導入 したがって i.e. が示された．▢ 逆の関係について たとえば よりであるがであるからではない．

例1.6 9項 と置く．このとき が成立する． (証明) (ア) (∀-除去) (イ) (∀-除去) を示す． (ア)について 1 (1) 仮定 i.e. 1 (2) 1. (3) 1-2.→-導入 (4) 3. ∀-導入 それゆえ i.e. が示された． (イ)について 1 (1) 仮定 i.e. 1 (2) 1. (3) 1-2.→-導入 (4) 3. ∀…

例1.5 9項 と置く．このとき が成立する． (証明) (∀-除去) を示す． 1 (1) 仮定 i.e. 1 (2) 1. (3) 1-2.→-導入 (4) 3. ∀-導入 したがって であるから，が示された．▢