日記2

自然演繹を積極的に用いたい．

部分集合の証明

福田拓生『集合への入門(無限をかいま見る)』培風館 2018

例1.5　9項

$A:=\{x|x=6m(m∈\mathbb{Z})\}$

$B:=\{y|y=3n(n∈\mathbb{Z})\}$

と置く．このとき

$A⊂B$

が成立する．

(証明)

$∀x［x∈A→∃x［x∈A∧x=a］］$

$x=［a］_A$ 　(∀-除去)　

$a:=6$ 　

$a∈A→a∈B$

を示す．

1　(1)　 $6∈A$ 　　仮定

$6=3n$ 　i.e.　 $n=2∈\mathbb{Z}$

1　(2)　 $6∈B$ 　　1.

　 (3)　 $6∈A→6∈B$ 　1-2.→-導入

　 (4)　 $x∈A→x∈B$ 　 3. ∀-導入

　したがって

$∀x［x∈A→∃x［x∈A∧x=a］］$

$x∈A→x∈B$

であるから， $A⊂B$ が示された．▢