日記2

自然演繹を積極的に用いたい．

集合が相等であることの例

福田拓生『集合への入門(無限をかいま見る)』培風館 2018

例1.6　9項

$A:=\{x|x=2m+3n(m,n∈\mathbb{Z})\}$

と置く．このとき

$A=\mathbb{Z}$

が成立する．

(証明)

(ア)

$∀x［x∈A→∃x［x∈A∧x=a］］$

$x=［a］_A$ 　(∀-除去)

$a:=5$

$a∈A→a∈\mathbb{Z}$

(イ)

$∀y［y∈\mathbb{Z}→∃y［y∈\mathbb{Z}∧y=b］］$

$x=［b］_\mathbb{Z}$ 　(∀-除去)

$b:=13$

$b∈\mathbb{Z}→b∈A$

を示す．

(ア)について

1　(1)　 $5∈A$ 　　仮定

$5=2m+3n$ 　i.e.　 $m=n=1∈\mathbb{Z}$

1　(2)　 $5∈\mathbb{Z}$ 　　1.

　 (3)　 $5∈A→5∈\mathbb{Z}$ 　1-2.→-導入

　 (4)　 $x∈A→x∈\mathbb{Z}$ 　 3. ∀-導入

　それゆえ

$∀x［x∈A→∃x［x∈A∧x=a］］$

$x∈A→x∈\mathbb{Z}$ 　i.e.　 $A⊂\mathbb{Z}$

が示された．

(イ)について

1　(1)　 $13∈\mathbb{Z}$ 　　仮定

$13=2m+3n$ 　i.e.　 $m=2,n=3∈\mathbb{Z}$

1　(2)　 $13∈A$ 　　1.

　 (3)　 $13∈\mathbb{Z}→13∈A$ 　1-2.→-導入

　 (4)　 $y∈\mathbb{Z}→y∈A$ 　 3. ∀-導入

　ゆえに

$∀y［y∈\mathbb{Z}→∃y［y∈\mathbb{Z}∧y=b］］$

$y∈\mathbb{Z}→y∈A$ 　i.e.　 $\mathbb{Z}⊂A$

であるから(ア)かつ(イ)により $A=\mathbb{Z}$ が示された．▢