日記2

自然演繹を積極的に用いたい．

ベクトルとその演算

☆判断の論証を中心に書くので，もし定義などがわからない場合は参考文献を参照してください．

第1章　平面と空間のベクトル

第1節　ベクトルとその演算

1.　ベクトル

　平面または空間でAを始点，Bを終点とする有向線分をABで表す．

2.　ベクトルの和とスカラー倍

$V$ をベクトルの集合とする．このとき

$∀x［x∈V→∃x［x∈V∧x=a］］$

$x=［a,b］_V$

に対して

$a:=$ OA　(Oは原点)

$b:=$ AB

$a+b:=$ OB

と定める．これをaとbの和という．

判断

$∀x［x∈V→∃x［x∈V∧x=a］］$

$x=［a,0］_V$

に対して

(1)　 $a+0=0+a$

(2)　 $a+0=a$

が成立する．

(証明)

$a:=$ AB　 $0:=$ BB

と置く．このとき

$a+0=$ AB+BB=AB　(ベクトルの和の定義)

と表される．それに対して

$a:=$ AB　 $0:=$ AA

と置けば

$0+a=$ AA+AB=AB

とできる．したがって(1)及び(2)が示された．▢

判断

$K$ をスカラーの集合とする．このとき

$∀x［x∈V→∃x［x∈V∧x=a］］$

$∀z［z∈K→∃z［z∈K∧z=k］］$

$x=［a,0］_V$ 　 $a≠0$

$z=［k,0］_K$ 　 $k:=0$

に対して

$0a=0$ 　

が成立する．

(証明)

$k=0,a≠0 \vdash 0a=0$

を示す．

1　(1)　 $k=0$ 　前提

2　(2)　 $a≠0$ 　前提

3　(3)　 $0a≠0$ 　仮定

ここで， $0a:=1$ と置くと1の約数とその因数はそれぞれ1であるから

$k=1∧a=1$

である．しかし，これは(1)に矛盾する．

1,3　(4)　 $\perp$ 　1,3.￢-除去

1　 (5)　 $￢￢(0a=0)$ 　3-4.￢-導入

1　 (6)　 $0a=0$ 　1.DN規則

以上より判断は真の命題となる．▢

判断

$a=0$ のときすべての $k∈K$ に対して

$ka=0$

が成立する．但し $ka$ が零ベクトルの場合は除く．

(証明)

　先の判断と同様にして示される．▢

いまベクトルaについて

$-a:=(-1)a$

と定める．このとき次の判断が命題となる．

判断

$-a$ は $a$ の逆ベクトルである．

(証明)

$a:=$ AB

と置く．このとき $a$ に対して

$-a=(-1)$ AB

$=$ BA　　(スカラー倍の定義)

それゆえ

$-a=$ BA

である．▢

判断

$a+(-a)=0$

が成立する．

(証明)

$a:=$ AB

と置く．このとき $-a=$ BAについて

$a+(-a)=$ AB+BA

$=$ AA　　(ベクトルの和の定義)

$=$ 0　　　(零ベクトルの定義)

ゆえに

$a+(-a)=0$

が示された．▢