日記2

自然演繹を積極的に用いたい．

集合の要素の個数　1

文英堂『高校これでわかる数学Ⅰ+ A』2012

第5章　場合の数と確率　146項

第1節　場合の数

1.　集合の要素の個数

基本例題111

問題略

(解答)

(1)について

$U$ ：全体集合

$U:=\{w∈\mathbb{N}|1≤w≤100\}$

$U$ の個数は $n(U)=100$

とくに $1≤w∧w≤100$ に対して

$100≤w$ 　(∧-除去)

(Ⅰ)　 $100$ < $w$ 　( $n(U)=100$ と矛盾するので省いてもよい)

または

(Ⅱ)　 $w=100$

補足

∧-除去で $1≤w$ を考えてもよい．この場合は

(Ⅰ)　 $1$ < $w$ 　 $(n(U)=100より実質的にw=100)$

(Ⅱ)　 $w=1$ 　 $(n(U)=100より矛盾するのでこれを棄却)$

また

$A,B⊆U$

すなわち

$z∈A→z∈U$ 　略記 $(∀z∈A)$

$z∈B→z∈U$ 　 $(∀z∈B)$

$A:=\{x|x=2s(s∈\mathbb{N})\}$

$B:=\{y|y=3t(t∈\mathbb{N})\}$

とする．このとき

(ア)

$∀x［x∈A→∃x［x∈U∧x=a］］$

$x=［a］_A$ 　

①　 $100$ < $w$

$a:=99$ 　i.e.　 $99=2s$ 　i.e.　 $s=49+1$

しかし， $n(U)=100$ であるからこの①は棄却される．

または

②　 $w=100$

$a:=100$ 　i.e.　 $100=2s$ 　i.e.　 $s=50$

である．

(イ)

$∀y［y∈B→∃y［y∈U∧y=b］］$

$y=［b］_B$ 　

①　 $100$ < $w$

$b:=99$ 　i.e.　 $99=3t$ 　i.e.　 $t=33$ 　(省いてもよい)

または

②　 $w=100$

$b:=100$ 　i.e.　 $100=3t$ 　i.e.　 $t=33+1$

である．

(ウ)

$∀z［z∈A∩B→∃z［z∈U∧x=c］］$

$z=［c］_{A∩B}$ 　

①　 $100$ < $w$

$c:=99$ 　i.e.　 $99=6u$ 　i.e.　 $u=16+3$ 　(省いてもよい)

または

②　 $w=100$

$c:=100$ 　i.e.　 $100=6u$ 　i.e.　 $u=16+4$

である．これより

$n(A∪B)=n(A)+n(B)-n(A∩B)=50+33-16=67$

を得る．

(2)について

$A,B⊆U$ に対して

$A:=\{x|x=6s(s∈\mathbb{N})\}$

$B:=\{y|y=8t(t∈\mathbb{N})\}$

$A∩B\{z|z=24u(u∈\mathbb{N})\}$

を考える．このとき(1)と同様にして

$100=24u$ 　i.e.　 $u=4+4$

$n(A∩B)=4$

であるから

$n(A∩B)^c=n(U)-n(A∩B)=100-4=96$

を得る．▢