日記2

自然演繹を積極的に用いたい．

定理 1.1.24　第2同型定理　5項

新妻弘『独習ガロア理論』近代科学社 2023

H,K≤G

K\triangleleft G

とする．このとき

(ⅰ)　 H∩K\triangleleft H

(ⅱ)　 H/(H∩K)\cong HK/K

が成立する．但し写像

α:H/(H∩K)→HK/K

は与えられている．

(証明の方針)

①　 H∩K:=\{z_1∈G|z_1∈H∧z_1∈K\}⊂G

②　 HK:=\{z_2∈G|z_2=s\circ t (s∈H,t∈K)\}⊂G

便宜のため

A:=H∩K

と置く．

①について

∀z_1∈Aに対して

z_1∈H∧z_1∈K　i.e.　 z_1∈H∩K　　論理積と共通部分の関係

である．また

z_1∈H→z_1∈G　　( H⊂Gによる)

z_1∈K→z_1∈G　　( K⊂Gによる)

であるから， z_1∈Gと表される．したがって， Aは Gの演算 (G, \circ)に関して群を成す．すなわち A≤G(A⊂G)である．

②について

　 ∀s∈Hは H≤Gより H⊂Gであるから s∈Gである． ∀t∈Kも同様にして， t∈Gである．これより (G, \circ)に関して

∀z_2∈HK　 z_2=s\circ t∈G

と表示できる．それゆえ

HK⊂G

であるから HKは群である．すなわち HK≤Gである．さらに

∀z_2∈G　 z_2=s\circ t

より G=HKと書ける．これより定理の主張を

(ⅰ)'　 A\triangleleft H

(ⅱ)'　 H/A \cong G/K

に換言する．

(ⅰ)'について

  • A≤Hであること

③　 A⊂H

∀x=［a_1］_A

∀x［x∈A］\vdash ∀x［x∈A→x∈H］

証明は自明なので

a_1∈H

を仮定できるか否かを確かめる． a_1∈Aに対して Aの内包より a_1∈Hであるから，この仮定は許される．したがって， A⊂Hを成す．☆

④　 A\triangleleft H

Aの内包に関して

z_1∈H∧z_1∈K 　( ∀z_1∈G)

に∧-除去を適用して

z_1∈K

を Aの元と看做せば Kは正規部分群であるから

a_2A=Aa_2

が成立する．したがって

A\triangleleft H

を得る．

☆について

　 Aの内包について，∧-除去より z_1∈H(∀z_1∈G)を導出し，これを Aの元と考えると， H⊂Hより A⊂Hを得る．このように，∧-導入及び除去について，数学は論理的に答えを出してきていないので，定理の主張自体を見直す必要があるかも知れない．

(ⅱ)'について

　ここから Aには∧-除去を適用して，是を Kで表すことにする．

①　 αが群準同型写像であること

α:H/K→G/K　 (G, \circ) \mapsto (G, \circ)　( ∀x=［a_1,a_2］_G)

xK\mapsto α(xK)

x∈H→x∈Gより

α(xK)=xK

について

α(a_1K\circ a_2K)=a_1K \circ a_2K=a_1a_2K

α(a_1K)\circ α(a_2K)=a_1K\circ a_2K=a_1a_2K

である．

　それゆえ

α(a_1K\circ a_2K)=α(a_1K)\circ α(a_2K)

が成立する．

②　 αが単射であること

　 a_1K≠a_2Kと仮定する．このとき

α(a_1K)=a_1K　　(このような対応は1個)

α(a_2K)=a_2K　　(同様に1個)

に対して写像の一意性により

α(a_1K)≠α(a_2K)

を得る．

　ゆえに， αは単射である．

③　 αが全射であること

α(H/K)=G/K　☆☆

を示す．

α(H/K)=\{xK∈G/K|x∈G\}⊂G/K

より

G/K⊂α(H/K)

を示せば十分である．

∀X［X∈G/K］\vdash ∀X［X∈G/K→X∈α(H/K)］　　 ∀X=［aK］_{G/K}

を考える．問題はこの部分集合の論証に関して

aK∈α(H/K)

を仮定できるか？　 aK∈G/Kに対して

α(aK)=aK

であるから

aK∈α(H/K)

を仮定してよい．したがって☆☆が成立する．

　以上より αは同型写像であるから，群同型

H/(H∩K)\cong HK/K

を成す．