日記2

自然演繹を積極的に用いたい．

定理 1.1.22　5項

新妻弘『独習ガロア理論』近代科学社 2023

x,y,z,......：1つの束縛変項

a,b,c,......：1つの自由変項

(G, \circ), (G',*)　1つの群

e∈G

e'∈G'

f:G→G'　群準同型写像

x\mapsto f(x)

f(x)=y

∀x=［a］_G

∃y=［b］_{G'}

とする．このとき

(1)　 f(e)=e'

(2)　 f(a^{-1})=f(a)^{-1}

が成立する．

(証明の方針)

(1)について

　群準同型写像に対して，とくに写像の性質

f:G→G'

x\mapsto f(x)

を考える．いま

f(x)=y

について

∀x=［e］_G

∃y=［e'］_{G'}

から

f(e)=e'

を得る．

(2)について

　 f:G→G'が与えられているので

∀x=［a,a^{-1}］_G

∃y=［b,b^{-1}］_{G'}

に対して f(a)=bより

f(a^{-1})=b^{-1}

である．そして

f(a\circ a^{-1})=f(a)*f(a^{-1})=b*b^{-1}=e'

と成る．一方

f(a)*f(a)^{-1}=e'

であるから

f(a\circ a^{-1})=f(a)*f(a)^{-1}

と成り

f(a)*f(a^{-1})=f(a)*f(a)^{-1}=e'

を得る．

　したがって

f(a^{-1})=f(a)^{-1}

である．