日記2

自然演繹を積極的に用いたい．

定理 1.1.20　5項

新妻弘『独習ガロア理論』近代科学社 2023

$x,y,z,......：1つの束縛変項$

$a,b,c,......：1つの自由変項$

$X：1つの束縛変項$

$(G, \circ)：1つの群$

$H\triangleleft G$

$G/H：Hを法とするすべての剰余類の集合族$

$G/H:=\{X|X=aH (a∈G)\}$

とする．このとき

$∀x∈G$

$∀x=［a,b］_G$

$aH\circ bH:=abH$ 　(乗法群とは限らない)

を定めると $G/H$ は $G$ の演算 $(G, \circ)$ で群を成す．

単位元：　 $eH=H$ 　 $∃y=［e］_G$

逆元：　 $a^{-1}H$ 　 $∃z=［a^{-1}］_G$

この群を $H$ を法とする剰余群(因子群)という．

(証明の方針)

$∀X=［aH］_{G/H}$

$∀x=［a,b,c］_G$

$aH\circ bH:=abH$

を用いる．

(1)　結合律

$(aH\circ bH)\circ cH=abH\circ cH=abcH$

$aH\circ (bH\circ cH)=aH\circ bcH=abcH$

したがって

$(aH\circ bH)\circ cH=aH\circ (bH\circ cH)$

が成立する．

(2)　単位元

　 $G$ は群であるから， $e∈G$ に対して

$aH\circ eH$ 　　　

を考えると $G/H$ の演算の定義より

$aH\circ eH=aeH=aH$ 　　 $(∀a∈G)$

を得る．それゆえ $eH$ が $G/H$ の単位元である．

(3)　逆元

　 $G$ は群であるから，任意の $a∈G$ に対して

$aH\circ a^{-1}H=eH=H$

となる $a^{-1}∈G$ が存在する．但し

$∀x=［a］_G$

$∃z=［a^{-1}］_G$

である．この $a^{-1}H$ が $G/H$ の逆元である．

　したがって $G/H$ は $G$ の演算 $(G, \circ)$ に関して群を成す．