日記2

自然演繹を積極的に用いたい．

系 1.1.8 3項

新妻弘『独習ガロア理論』近代科学社 2023

$x,y,z,......：1つの束縛変項$

$a,b,c,......：1つの自由変項$

$(G, \circ)：1つの群$

$e：Gの単位元$

$a^{-1}：Gの逆元$

とする．

(1)　 $H≤G$ のとき

$e∈H ⇔ e∈G$

(2)　 $H≤G$ のとき

$a^{-1}∈H ⇔ a^{-1}∈G$

(証明の方針)

(1)について

(⇒)　 $e∈H ⇒ e∈G$

　 $e∈H$ を仮定する． $H≤G$ の条件より $H⊂G$ であるから

$∀x［x∈H→x∈G］$

と書ける．それゆえ

$e∈H→e∈G$

が成立する．

(⇐)　 $e∈G ⇒ e∈H$

　 $e∈G$ を仮定する．条件 $H≤G$ より $H$ は $G$ の演算 $(G, \circ)$ に関して群を成すので， $G$ の単位元を $H$ がもつ．

(2)について

(2)も(1)と同様の理由で示される．