日記2

自然演繹を積極的に用いたい．

命題1.1.11 3項

新妻弘『独習ガロア理論』近代科学社 2023

$x,y,z,......：1つの束縛変項$

$a,b,c,......：1つの自由変項$

$(G, \circ)：1つの群$

< $a$ > $:=\{y|y=a^n(n∈\mathbb{Z})\}⊂G$

とする．このとき

(1)　< $a$ > $≤G$

(2)　< $a$ >は $a$ を含む $G$ の最小の部分群

である．

(証明の方針)

$\mathbb{Z}=\{...,-n,-n+1,...,-1,0,1,...,n,n+1,...\}$

$∃k=［1,......,n］_{\mathbb{Z}}$

$∃x=［a］_{G}$

$a^n:=a\circ a \circ \cdots \cdots \circ a　(n個)$

$∀y∃x［y∈G→x∈G∧y=x］$

$∀y=［b］_G$

$∃x=［a^n］_G$

(1)について

　< $a$ > $⊂G$ より< $a$ >の元はすべて群 $G$ に属するので，< $a$ >は $G$ の演算 $(G, \circ)$ に関して群を成す．したがって< $a$ > $≤G$ である．

(2)について

　 $H$ を $a∈G$ を含む $H≤G$ とする．このとき

< $a$ > $⊂G$ 　☆

を示す．条件 $H≤G$ より $H$ でも $a^n$ が定義できるので $a^n∈H$ である．さらに， $H⊂G$ であるから☆が成立する．