日記2

自然演繹を積極的に用いたい．

問1.1　4項

新妻弘『独習ガロア理論』近代科学社 2023

$x,y,z,......：1つの束縛変項$

$a,b,c,......：1つの自由変項$

$(G, \circ)：1つの群$

$H≤G$

$∃a∈G$ 　　

$aH:=\{x_1|x_1=a\circ h(h∈H)\}$ 　 $Hを法とする左剰余類$

$Ha:=\{x_2|x_2=h\circ a(h∈H)\}$ 　 $Hを法とする右剰余類$

$aH$ の内包

$x=a\circ h　(h∈H)$

i.e.　 $∀x∈aH　⇒　∃a∈G∧x=a\circ h　(∀h∈H)$

i.e.　 $∀x∈aH　⇒　∃a∈G∧［∀h∈H　⇒　x=a\circ h］$

i.e.　 $∀x∃y∀z［x∈aH→y∈G∧［z∈H→x=yz］］$

但し

$∀x=［b］_{aH}$

$∃y=［a］_G$

$∀z=［h］_H$

とする． $Ha$ も同様．このとき

$|aH|=|Ha|$

が成立する．

(証明の方針)

$aH⊂Gであること$

　 $a∈G，h∈H$ に対して

$a\circ h∈aH→a\circ h ∈G$

を示す．条件 $H≤G$ とくに $H⊂G$ であるから

$h∈H→h∈G$

より $a∈G$ について， $a\circ h$ は $G$ の元同士の演算が働くので， $(G, \circ)$ に関して

$a\circ h∈aH→a\circ h∈G$ 　i.e.　 $aH⊂G$

を成す．これより

$aH=\{x_1∈G|x_1=a\circ h(h∈H)\}⊂G$

と表示してもよい． $Ha$ も同様．

　これより， $a∈G，H≤G$ に対して

$aH⊂G$

$Ha⊂G$

であるから

$∀x_1［x_1∈aH→x_1∈G］$

$∀x_2［x_2∈Ha→x_2∈G］$

$∀x_1=［c］_{aH}$

$∀x_2=［d］_{Ha}$

について，何れにしても $aH$ と $Ha$ のすべての元は $G$ に属する．したがって，両者( $aHとHa$ )の濃度は等しい．

補足

　 $G$ の濃度は無限とも有限とも言っていない．また， $aH≤G，Ha≤G$ でもある．