日記2

自然演繹を積極的に用いたい．

定理 1.1.25　第3同型定理　6項

新妻弘『独習ガロア理論』近代科学社 2023

$a,b,c,...,x,y,z,......：1つの束縛変項$

$a_1,a_2,...,b_1,b_2,......：1つの自由変項$

$H,K\triangleleft G$

$H⊂K$

$α:(G/H)/(K/H)→ G/K$ 　写像

とする．このとき

(ⅰ)　 $K/H\triangleleft G/H$

(ⅱ)　 $(G/H)/(K/H)\cong G/K$

が成立する．

(証明の方針)

前提のまとめ

　 $H,K\triangleleft G$ より

$H⊂G, K⊂G$ 　☆

であり $H⊂K$ が与えられている．とくに $H⊂K$ について，☆より $H,K$ はともに群であるから $H≤K$ である．

①　 $H\triangleleft K$ であること

$∀k=［k_1］_K$ 　 $kH=Hk$

を示す．そのために

(ア)　 $kH⊂Hk$

(イ)　 $Hk⊂kH$

をいう．

(ア)について

$∀x=［a_1］_G$

$∀x［x∈kH］\vdash ∀x［x∈kH→x∈Hk］$

を考える．このとき

$a_1∈Hk$

を仮定できるか？

$H⊂K⊂G$

より $H$ のすべての元と $K$ のすべての元は $G$ の元であるので， $kH$ の元と $Hk$ の元とを $G$ の元と看做し， $kH$ と $Hk$ を同一視する．これより，(ア)そして(イ)もわかる．

②　 $H\triangleleft K$ より $K/H$ を考える．このとき，(ⅰ)を示したい．いま2個の剰余類

$K/H=\{X|X=kH\}$ 　 $∀k=［k_1］_K$

$G/H=\{Y|Y=gH\}$ 　 $∀g=［g_1］_G$

を表示すると $∀X∈K/H$ に対して

$K⊂G$

より $X∈G/H$

である．すなわち $K/H⊂G/H$ である．そして，条件より $H,K\triangleleft G$ であるから定理1.1.20より $K/H$ と $G/H$ はともに群(剰余群)を成す．したがって

$K/H≤G/H$

である．これより便宜のため

$Γ:=K/H$

$Ω:=G/H$

$Γ≤Ω$

で表す．

(ⅰ)について

　 $∀S∈Ω$ 　 $SΓ=ΓS$ を示す．但し

$∀S=［gH］_Ω$ 　 $∀g=［g_1］_G$ 　　

であり $H\triangleleft Gより$ $gH=Hg$ であるから $gH$ のみを考えればよい．

(ア)　 $SΓ⊂ΓS$

(イ)　 $ΓS⊂SΓ$

をいう．

(ア)について

$∀X［X∈SΓ］\vdash ∀X［X∈SΓ→X∈ΓS］$

を考える．このとき

$A_1∈ΓS$ 　 $∀X=［A_1］$

を仮定できるだろうか？

$A_1=g_1Hk_1H=g_1k_1=a_1H$ 　　( $a_1=g_1\circ k_1, Gは群$ )

他方

$A_1=g_1Hk_1H=Hg_1Hk_1=Hg_1k_1=Ha_1$

であるから

$a_1H=Ha_1$ 　i.e.　 $aH=Ha$ 　 $∀a=［a_1］_G$

が成立する．(イ)も同様であるから

$SΓ=ΓS$

と成る．したがって $Γ\triangleleft Ω$ である．

(ⅱ)について

$Ω/Γ\cong G/K$

を示す．

①　 $αが準同型写像であること$

　写像 $α$ に対して

$α:Ω/Γ→G/K$

$∀x=［a_1,b_1］_G$

$a_1Hb_1H=a_1b_1H=xH$ より

$xH\mapsto α(xH)$

と書く．とくに

$α(xH)=xK$ 　　 $(G, \circ)$

である．いま

$∀x=［a_1,b_1］_G$

$∀y=［a_2,b_2］_G$

に関して

$α(xH\circ yH)=α(xyH)=xyK$

$α(xH)\circ α(yH)=xK\circ yK=xyK$

が成立する．したがって， $α$ は群準同型写像である．

②　 $αが単射であること$

　 $xH≠yH$ と仮定する．このとき

$α(xH)=xK$

$α(yH)=yK$

は写像の一意性と仮定により

$α(xH)≠α(yH)$

を得る．

③　 $αが全射であること$

$α(Ω/Γ):=\{xK∈G/K|x∈G\}⊂G/K$

であるから

$G/K⊂α(Ω/Γ)$

を示せば十分である．

$∀xK［xK∈G/K］\vdash ∀xK［xK∈G/K→xK∈α(Ω/Γ)］$

について

$xK∈α(Ω/Γ)$

を仮定できるか？　 $xK$ は $α(Ω/Γ)$ のすべての元であるから，この仮定は許される．したがって， $G/K=α(Ω/Γ)$ が成り立つので， $α$ は全射である．

　以上より

$α:Ω/Γ→G/K$

は同型写像である．それゆえ群同型

$(G/H)/(K/H)\cong G/K$

が成立する．

感想

　 $H⊂G,K⊂G$ より $H$ と $K$ のすべての元は $G$ に属する．これより $H$ と $K$ をともに $G$ と看做せば $G\triangleleft G$ より剰余群 $G/G$ で， $G/G$ は $G/G$ の正規部分群であるから

$(G/G)/(G/G)\cong G/G$

より定理は自明である，といえると思う．