日記2

自然演繹を積極的に用いたい．

定理 1.1.23　第1同型定理　5項

新妻弘『独習ガロア理論』近代科学社 2023

$x,y,z,......：1つの束縛変項$

$a,b,c,......：1つの自由変項$

$f:G→G'$ 　群準同型写像

$\mathrm{Ker} f:=\{x∈G|f(x)=e\}⊂G$

$\mathrm{Im} f:=\{f(x)∈G'|x∈G\}⊂G'$

$=\{y∈G'|f(x)=y\}$

$α:G/\mathrm{Ker}f→\mathrm{Im}f$ 　写像

とする．このとき

(ⅰ)　 $\mathrm{Ker} f \triangleleft G$

(ⅱ)　 $G/\mathrm{Ker} f \cong \mathrm{Im} f$

が成立する．

(証明の方針)

(ⅰ)について

　 $\mathrm{Ker} f⊂G$ より $\mathrm{Ker} f$ の元はすべて $G$ に属するので， $\mathrm{Ker} f$ は群を成し， $\mathrm{Ker} f≤G$ である．いま，便宜のため

$K:=\mathrm{Ker} f$

と置く．このとき $∀x=［a］_G$ に対して

$aK=Ka$

を示す．そのために

(ア)　 $aK⊂Ka$

(イ)　 $Ka⊂aK$

をいう．

(ア)について

$∀z［z∈aK］\vdash ∀z［z∈aK→z∈Ka］$

を証明する．

$aK⊂G$ 　i.e.　 $∀z［z∈aK→z∈G］$

$Ka⊂G$ 　i.e.　 $∀w［w∈Ka→w∈G］$

であるから

$∀z∀w=［b］_G$

を選べば

$b∈aK→b∈Ka$

より

$∀z［z∈aK→z∈Ka］$

が成立する．すなわち

1　(1)　 $∀z［z∈aK］$ 　前提

1　(2)　 $b∈aK$ 　1. ∀-除去

3　(3)　 $b∈Ka$ 　仮定　☆

1　(4)　 $b∈aK→b∈Ka$ 　2-3. →-導入

1　(5)　 $∀z［z∈aK→z∈Ka］$ 　4. ∀-導入

(イ)も同様．

☆について

$aK$ と $Ka$ に対して，すべての元は $G$ に属するので， $aK$ と $Ka$ の元を $G$ の元として看做す．

i.e.　 $∀z=［b］_G$ 　 $∀w=［b］_G$

つまり

$aK=\{z∈G|z=ak_1\}⊂G$

$Ka=\{w∈G|w=k_2a\}⊂G$

$b=ac$ 　　 $∀k_1=［c］_K$

$b=da$ 　　 $∀k_2=［d］_K$

に対して

$b∈aK→b∈Ka$

より☆の仮定は許される．

感想

　☆の部分を書いていて想ったことは， $aK$ 及び $Ka$ の元を $G$ の元と同一視するということは， $aK⊂G$ という等号をぼかした記号を

$aK⊆G$ 　i.e.　 $aK⊂G∨aK=G$

として考えることであり，とくに $aK=G$ を用いることである．この等号を認めれば

$aK⊆G∧Ka⊆G$

より

$aK=G$

$Ka=G$

同一性規則から

$aK=Ka$

という自明な証明が与えられる．今回は，部分集合について等号関係をぼかした

$A⊂B$ 　　(真部分集合とは限らない)

を用いてきた．もし，今が数学の変革期に該たるなら

$A⊆B$

を用いて行くことも考える必要がある．ただ，このような等号関係を認めると，準同型定理の無効化，ひいては同型概念が無用になる．それなので，今後しばらくは真部分集合であるか否かをぼかした $A⊂B$ という記号で考える．

(ⅱ)について

(ア)　 $αが群準同型写像であること$

$I:=\mathrm{Im} f$

と置く． $I⊂G'$ より $I$ は群である． $G/K$ も群である．

$α:G/K→I$

$aK \mapsto α(aK)$

$α(aK)=y$

$(G, \circ)$

$(G', *)$

$∀x=［a,b,c,e］_G$

$∃1y=［d,m,n］_I$

に対して $α$ が群準同型写像であることを示す．そのために

$α(aK\circ bK)=α(aK)*α(bK)$

が成り立つことをいう．

$α(aK\circ bK)$

$=α(abK)$ 　剰余群の演算の定義

$=α(cK)$ 　　 $a\circ b=c, 群の演算で閉じている$

$=d$

$=f(e)$ 　　 $dはIの元$

$=e$

である．一方

$α(aK)*α(bK)$

$=d*d$

$=f(e)*f(e)$ 　　 $d=f(e)となるように選ぶ$

$=f(e\circ e)$ 　　 $fは群準同型$

$=f(e)$ 　　 $単位元の作用$

$=e$

である．それゆえ

$α(aK\circ bK)=α(aK)*α(bK)$

が成立する．

☆写像 $α$ が与えられているので， $y$ について自由に選ぶことができる．つまり，もし写像が与えられていなければ，これは物自体の証明となってしまう．

(イ)　 $αが単射であること$

$aH≠bH$ を仮定する．このとき $α(aK)≠α(bK)$ を示す． $α(aK)=y$ に対して

$α(aK)=m$

$α(bK)=n$

$m≠n$

となるように選ぶ．写像の一意性より

$α(aK)≠α(bK)$

を得る．

(ウ)　 $αが全射であること$

　改めて

$α:G/K→I$

$aK\mapsto α(aK)$

$α(aK)=y$

$α(G/K)=\{y∈I|y=α(X) (X∈G/K)\}⊂I$

を考える．このとき $α(G/K)=I$ を示す． $I$ の内包より $α(G/K)⊂I$ であるから

$I⊂α(G/K)$

を示せば十分である．

1　(1)　 $∀s［s∈I］$ 　前提

1　(2)　 $a_1∈I$ 　1. ∀-除去

3　(3)　 $a_1∈α(G/K)$ 　仮定　☆

1　(4)　 $a_1∈I→a_1∈α(G/K)$ 　2-3. →-導入

1　(5)　 $∀s［s∈I→s∈α(G/K)］$ 　4. ∀-導入

☆について

$α(G/K)=\{y∈I|y=α(X) (X∈G/K)\}⊂I$

の $α(G/K)$ の元は $I$ の元でもあるので，このような仮定は許される．

　以上より， $α$ は同型写像であることがわかるので，求める群同型

$G/\mathrm{Ker} f \cong \mathrm{Im} f$

を成す．

結果

$G/K→α(G/K)$ 　同型写像

より集合族G/Kを集合α(G/K)として扱うことができる．