日記2

自然演繹を積極的に用いたい．

定理 1.1.15　ラグランジュ　4項

新妻弘『独習ガロア理論』近代科学社 2023

$x,y,z,......：1つの束縛変項$

$a,b,c,......：1つの自由変項$

$(G, \circ)：1つの群$

$|G|:=n　有限群$

$∃k=［1,2,...,m,n］_{\mathbb{Q}}$

$\mathbb{Q}=\{x|x=d/c (c,d∈\mathbb{Z},c≠0)\}$

$H≤G$

$aH:=\{x|x=a\circ h (h∈H)\}$

$G/H:=\{X|X=aH (a∈G)\}$

$|G：H|=|G/H|$ 　 $Gに関するHの指数$

とする．このとき

$|G|=|G：H|×|H|$

が成立する．但し， $×$ は積(掛け算)を表す．

(証明の方針)

①　有限群 $G$ の部分群 $H$ は有限群か？

　 $H⊂G$ より $H$ も有限群である．これより

$|H|:=m$

と定める．

②　 $|G：H|=|G/H|$ に関して集合族 $G/H$ の位数とは何か？

　位数が有限個の $G$ と $H$ から成る $G/H$ の位数も有限個である．いま

$|G/H|:=\displaystyle \frac{n}{m}　商(割り算)$

と置けば

$\displaystyle \frac{n}{m}×m=n$ 　i.e.　 $|G：H|×|H|=|G|$

と書ける．但し，位数の演算は $\mathbb{Q}$ で行う．

$∃k=［1,2,...,m,n］_{\mathbb{Q}}$

(1)　 $H≤G$ の位数は $n$ の約数である．

(証明の方針)

$|H|:=m，|G|:=n$

に対して $H$ の指数 $|G：H|$ が定められているので

$|G/H|:=\displaystyle\frac{n}{m}$ 　　商(割り算)

が可能である．それに伴い $m|n$ でもある．

(2)　

$∀x∈G$

$∀x=［a］_G$

$|a|:=\min\{s∈\mathbb{Q}|a^s=e\}$ 　 $eはGの単位元$

$∃s=［1,2,...,r］_{\mathbb{Q}}$

に対して

$r|n$

である．但し

$n=rq　(∃t∈\mathbb{Q})$

$∃t=［1,2,...,q］_{\mathbb{Q}}$

(証明の方針)

$|G|:=n，|a|:=r$

に対して

$n=r×\displaystyle\frac{n}{r}$

と成るような

$|q|:=\displaystyle\frac{n}{r}$ 　　商(割り算)

を定めれば $r$ は $r|n$ でもある．

(3)　

$|G|:=n$

$∀x∈G$

$∀x=［a］_G$

$eはGの単位元$

に対して

$a^n=e$

である．

(証明の方針)

$∀x［x∈G］∃y［y∈\mathbb{Q}］$

$\vdash ∀x∃y［x∈G→y∈\mathbb{Q}∧x^y=e］$

を示す．但し

$∃y=［1,2,...,n］_{\mathbb{Q}}$

である．

1　　(1)　 $∀x［x∈G］$ 　前提

2　　(2)　 $∃y［y∈\mathbb{Q}］$ 　前提

1　　(3)　 $a∈G$ 　1. ∀-除去

4　　(4)　 $n∈\mathbb{Q}$ 　仮定

5　　(5)　 $a^n=e$ 　仮定

4,5　 (6)　 $n∈\mathbb{Q}∧a^n=e$ 　4,5. ∧-導入

1,2,4 (7)　 $a∈G→n∈\mathbb{Q}∧a^n=e$ 　1-6. →-導入

1,2,4 (8)　 $∃y［a∈G→y∈\mathbb{Q}∧a^y=e］$ 　7. ∃-導入

1,2　 (9)　 $∃y［a∈G→y∈\mathbb{Q}∧a^y=e］$ 　8. ∃-除去

1,2　 (10)　 $∀x∃y［x∈G→y∈\mathbb{Q}∧x^y=e］$ 　9. ∀-導入

感想

　任意の $G$ の元 $a$ と $|G|:=n$ に対して $a^n=e$ というのがよくわからなかった．これから考えて行くので，この先記事を修正するかも知れない．