日記2

自然演繹を積極的に用いたい．

部分群について 2項

新妻弘『独習ガロア理論』近代科学社 2023

$(G,\circ)：1つの群$

$x,y,z,......：1つの束縛変項$

$a,b,c,......：1つの自由変項$

$e：Gの単位元$

$a^{-1}：Gの逆元$

とする．このとき $G$ の単位元のみから成る集合 $\{e\}$ に対して

$\{e\}≤G$

が成立する．また， $G$ についても， $G$ 自身 $G$ の部分群

$G≤G$

である．

(証明の方針)

$\{e\}≤G$

(ⅰ)　 $\{e\}⊂G$

(ⅱ)　 $e,e,e∈\{e\}　(e\circ e)\circ e=e\circ (e\circ e)$

(ⅲ)　 $e,e∈\{e\}　e\circ e=e$

(ⅳ)　 $e,e^{-1}∈\{e\}　e\circ e^{-1}=e$

☆　 $e^{-1}=e$ により $e^{-1}∈\{e\}$ がとれる．

を示す．

(ⅰ)　 $\{e\}⊂G$

$e∈\{e\}\vdash e∈\{e\}→e∈G$

1　(1)　 $e∈\{e\}$ 　前提

2　(2)　 $e∈G$ 　仮定

1　(3)　 $e∈\{e\}→e∈G$ 　1-2. →-導入

(ⅱ)　 $(e\circ e)\circ e=e\circ (e\circ e)$

　両辺が等しいことをいう．

$(e\circ e)\circ e=e\circ e=e$

$e\circ (e\circ e)=e\circ e=e$

それゆえ

$(e\circ e)\circ e=e\circ (e\circ e)$

が成立する．

(ⅲ)　 $e\circ e=e$

　 $e$ の性質より

$e\circ e=e$

である．

(ⅳ)　 $e\circ e^{-1}=e$

　 $e^{-1}=e$ より

$e\circ e^{-1}=e\circ e=e$

を得る．

　以上より $\{e\}$ は $\{e\}≤G$ を成す．

$G≤G$

(ⅰ)　 $G⊂G$

$∀x∈G\vdash x∈G→x∈G$

を示す．

$∀x［x∈G］\vdash ∀x［x∈G→x∈G］$

1　(1)　 $∀x［x∈G］$ 　前提

1　(2)　 $a∈G$ 　1. ∀-除去

3　(3)　 $a∈G$ 　仮定

1　(4)　 $a∈G→a∈G$ 　2-3. →-導入

1　(5)　 $∀x［x∈G→x∈G］$ 　4. ∀-導入

(ⅱ)　そして，群 $G$ の部分集合 $G$ は群 $G$ の演算 $(G,\circ)$ に関して，群を成す．以上より $G≤G$ であることがわかった．