日記2

自然演繹を積極的に用いたい．

命題 1.2.2　7項

新妻弘『独習ガロア理論』近代科学社 2023

$a,b,c,...,x,y,z,......：1つの束縛変項$

$a_1,a_2,...,b_1,b_2,......：1つの自由変項$

$(R, +, \cdot)：1つの環$

$∀a=［a_1］_R$

$∀b=［b_1］_R$

$∀c=［c_1］_R$

$∃0=［0_R］_R$

$\mathbb{N}=\{1,2,...,n,n+1,......\}$

$∃n=［1,2,......,n_1］_{\mathbb{N}}$

とする．このとき

(ⅰ)　 $a\cdot 0=0$

(ⅱ)　 $(-a)\cdot b=a\cdot (-b)=-(a\cdot b)$

(ⅲ)　 $(-a)\cdot(-b)=a\cdot b$

(ⅳ)　 $a\cdot (b-c)=a\cdot b-a\cdot c$

(ⅴ)　 $n(a\cdot b)=(na)\cdot b=a\cdot (nb)$

が成立する．

(証明の方針)

(ⅰ)について

$∀a∃0［a∈R→0∈R∧a\cdot 0］$

$\vdash∀a∃0［a∈R→0∈R∧a\cdot 0=0］$ を示す．

1　　(1)　 $∀a∃0［a∈R→0∈R∧a\cdot 0］$ 　前提

1　　(2)　 $∃0［a_1∈R→0∈R∧a\cdot 0］$ 　1. ∀-除去

3　　(3)　 $a_1∈R→0_R∈R∧a\cdot 0_R$ 　仮定

4　　(4)　 $a_1∈R$ 　仮定

3,4　 (5)　 $0_R∈R∧a_1\cdot 0_R$ 　3,4. →-除去

3,4　 (6)　 $0_R∈R$ 　5. ∧-除去

3,4　 (7)　 $a_1\cdot 0_R$ 　5. ∧-除去

ここで

$a_1\cdot 0_R$ 　　 $a_1\cdot 0_R∈R$

$=a_1\cdot (0_R+0_R)$ 　　零元の性質

$=a_1\cdot 0_R+a_1\cdot 0_R$ 　　分配律

i.e.　 $a_1\cdot 0_R=a_1\cdot 0_R+a_1\cdot 0_R$ 　☆　

であるから☆の両辺に $a_1\cdot 0_R∈R$ の加法逆元， $-(a_1\cdot 0_R)∈R$ を加えて

$0_R=a_1\cdot 0_R$ 　i.e.　 $a_1\cdot 0_R=0_R$

を得る．

3,4　　(8)　 $a_1\cdot 0_R=0_R$ 　7.

3,4　　(9)　 $0_R∈R∧a_1\cdot 0_R=0_R$ 　6,8. ∧-導入

3　　 (10)　 $a_1∈R→0_R∈R∧a_1\cdot 0_R=0_R$ 　4-9. →-導入

3　　 (11)　 $∃0［a_1∈R→0∈R∧a_1\cdot 0=0］$ 　10. ∃-導入

1　　 (12)　 $∃0［a_1∈R→0∈R∧a_1\cdot 0=0］$ 　3-11. ∃-除去

1　　 (13)　 $∀a∃0［a∈R→0∈R∧a\cdot 0=0］$ 　12. ∀-導入

(ⅱ)について

　まず， $(-a)\cdot b=a\cdot (-b)$ を示す．

$(-a)\cdot b=(-1)\cdot a\cdot b=a\cdot (-1)\cdot b=a\cdot (-b)$

による．次に $(-a)\cdot b=-(a\cdot b)$ を示す．

$(-a)\cdot b=(-1)\cdot a\cdot b=(-1)\cdot (a\cdot b)=-(a\cdot b)$

である．

　「何れにしても，前提以外の仮定に依存した判断はないので，∀-導入を適用することができる」☆

したがって，(ⅱ)が成立する．

☆以後，この文章は「∀-導入適用可能」と略する．

(ⅲ)について

$(-a)\cdot (-b)=(-1)\cdot a\cdot (-1)\cdot b=a\cdot (-1)\cdot (-1)\cdot b=a\cdot 1\cdot b=a\cdot b$

による(∀-導入適用可能)．

(ⅳ)について

$a\cdot (b-c)=a\cdot (b+(-c))=a\cdot b+(-a\cdot c)=a\cdot b-a\cdot c$

による(∀-導入適用可能)．

(ⅴ)について

①　 $n(a\cdot b)=(na)\cdot b$ を示す．

$n(a\cdot b)=a\cdot b+\cdots \cdots +a\cdot b　(a\cdot bはn個)$

それに対して

$(na)\cdot b=(a+\cdots \cdots +a)\cdot b　(aはn個)$

$=a\cdot b+\cdots \cdots +a\cdot b$ 　 $Rの分配律$

　したがって

$n(a\cdot b)=(na)\cdot b$

である．

②　 $(na)\cdot b=a\cdot (nb)$ を示す．

$(na)\cdot b=(a+\cdots \cdots +a)\cdot b　(aはn個)$

$=a\cdot b+\cdots \cdots +a\cdot b$

一方

$a\cdot (nb)=a\cdot (b+\cdots \cdots +b)=a\cdot b+\cdots \cdots +a\cdot b$

である．それゆえ

$(na)\cdot b=a\cdot (nb)$

を得る(∀-導入適用可能)．

　以上より命題が示された．