日記2

自然演繹を積極的に用いたい．

判断②　7項

新妻弘『独習ガロア理論』近代科学社 2023

$a,b,c,...,x,y,z,......：1つの束縛変項$

$a_1,a_2,...,b_1,b_2,......：1つの自由変項$

$(R, +, \cdot)：1つの環$

$∀a=［a_1］_R$

$∃n=［n_1］_{\mathbb{N}}$

i.e.

$∀a∃n［a∈R→n∈\mathbb{N}∧na:=a+\cdots\cdots +a］$

とする．このとき $na$ の定義により

$1a=a$ 　 $1∈\mathbb{Z})$

$(-1)a=1(-a)=-a$

と成る．

(証明の方針)

①　 $1a=a$

$na:=a+\cdots\cdots +a$ 　　( $aはn個$ )

より

$1a=a$ 　　( $aは1個$ )

と表される．

②　 $(-1)a=1(-a)=-a$

$(-n)a:=n(-a)$

より

$(-1)a=1(-a)$

であり $na$ の定義より

$1(-a)=-a$ 　　( $-aは1個$ )

と書ける．

☆　 $R$ は可換環ではあるが， $na$ は $a$ の $n$ 倍を意味しているので

$an:=a+\cdots\cdots +a$ 　　( $aはn個$ )

$a0:=0_R$

$a(-n):=(-a)n$

を定めることにより

$a1=a$

$(-1)a=a(-1)$

$1(-a)=(-a)1$

が導き出される．