日記2

自然演繹を積極的に用いたい．

逆元の逆元は元に戻ることについて 2項

新妻弘『独習ガロア理論』近代科学社 2023

主張

$(a^{-1})^{-1}=a$ 　　

(証明の方針)

$x,y,z,......：1つの束縛変項$

$a,b,c,......：1つの自由変項$

$(G, \circ)：1つの群$

$e：Gの単位元$

$a^{-1}：Gの逆元$

とする．このとき $G$ の逆元とは

$∀x∃y［x∈G→［y∈G∧x\circ y=e］］$

をいう．但し

$x^{-1}:=y$ 　　(唯一つ)

である．いま

$(x^{-1})^{-1}=x$ 　

を示したい．そのために

$∀x∃x^{-1}［x∈G→［x^{-1}∈G∧x\circ x^{-1}=e］］$

$\vdash ∀x∃x^{-1}［x∈G→［x^{-1}∈G∧(x^{-1})^{-1}=x］］$

を示す．

1　　(1)　 $∀x∃x^{-1}［x∈G→［x^{-1}∈G∧x\circ x^{-1}=e］］$ 　前提

1　　(2)　 $∃x^{-1}［a∈G→［x^{-1}∈G∧a\circ x^{-1}=e］］$ 　1. ∀-除去

3　　(3)　 $a∈G→［a^{-1}∈G∧a\circ a^{-1}=e］$ 　仮定

4　　(4)　 $a∈G$ 　仮定

3,4　 (5)　 $a^{-1}∈G∧a\circ a^{-1}=e$ 　3,4. →-除去

3,4　 (6)　 $a^{-1}∈G$ 　5. ∧-除去

3,4　 (7)　 $a\circ a^{-1}=e$ 　5. ∧-除去

ここで， $G$ の自由変項 $b$ を用いる．

$b:=a^{-1}$

と置くと $G$ の逆元の定義から

$b\circ b^{-1}=e$

と書ける．そして， $a\circ a^{-1}=e$ であるから

$a\circ a^{-1}=b\circ b^{-1}$

を得る．これを適当に変形すれば

$a\circ a^{-1}\circ a=b\circ b^{-1}\circ a$

i.e.　 $a\circ e=b^{-1}\circ b\circ a$ 　　(逆元の交換性)

i.e.　 $a=b^{-1}\circ e$ 　　(単位元の性質)

i.e.　 $a=b^{-1}$ 　　(単位元の性質)

であるので

$b^{-1}=a$ 　i.e.　 $(a^{-1})^{-1}=a$

が導き出された．

3,4　 (8)　 $(a^{-1})^{-1}=a$ 　7.

3,4　 (9)　 $a^{-1}∈G∧(a^{-1})^{-1}=a$ 　6,8. ∧-導入

3　　(10)　 $a∈G→［a^{-1}∈G∧(a^{-1})^{-1}=a］$ 　4-9. →-導入

3　　(11)　 $∃x^{-1}［a∈G→［x^{-1}∈G∧(x^{-1})^{-1}=a］］$

10. ∃-導入

1　　(12)　 $∃x^{-1}［a∈G→［x^{-1}∈G∧(x^{-1})^{-1}=a］］$

3-11. ∃-除去

1　　(13)　 $∀x∃x^{-1}［x∈G→［x^{-1}∈G∧(x^{-1})^{-1}=x］］$

12. ∀-導入

　以上より主張が示された．

主張(追加)

$e^{-1}=e$

(証明の方針)

　 $G$ の単位元の性質より

$e\circ e^{-1}=e^{-1}$

である．さらに， $G$ の逆元の性質から

$e\circ e^{-1}=e$

である．したがって

$e^{-1}=e$

である．