日記2

自然演繹を積極的に用いたい．

定理 1.1.7 部分群の判定定理 2項

新妻弘『独習ガロア理論』近代科学社 2023

$x,y,z,......：1つの束縛変項$

$a,b,c,......：1つの自由変項$

$(G, \circ)：1つの群$

$H⊂G$

$H≠\varnothing$

とする．このとき， $H$ が $G$ の部分群であるための必要十分条件は $H$ が次をみたすことである．

(ⅰ)　 $∀x∀y［x∈H∧y∈H→x\circ y∈H］$

(ⅱ)　 $∀x∃x^{-1}［x∈H→x^{-1}∈H］$

また，(ⅰ),(ⅱ)は次の(ⅲ)と同値である．

(ⅲ)　 $∀x∃y^{-1}［x∈H→y^{-1}∈H∧x\circ y^{-1}∈H］$

但し

$∀x=［a,b］_H$

$∀y=［b,c］_H$

$∃x^{-1}=［b^{-1}］_H$

$∃y^{-1}=［b^{-1}］_H$

である．

(証明の方針)

$H≤G ⇔ (ⅰ),(ⅱ)$

を示したい．そのために

(ア)　 $H≤G ⇒ (ⅰ),(ⅱ)$

(イ)　 $(ⅰ),(ⅱ) ⇒ H≤G$

を示す．

(ア)について

　 $H≤G$ と仮定する．このとき，条件から $H⊂G$ である．すなわち

$∀x［x∈H→x∈G］$

であるから， $H$ のすべての元は $G$ の元である．いま， $G$ は群であるから， $H$ のすべての元は $G$ の演算 $(G, \circ)$ について閉じている．それゆえ， $H$ は(ⅰ),(ⅱ)をみたす．

(イ)について

　(ⅰ),(ⅱ)が成り立つと仮定する．このとき $H≤G$ であることをいう．すなわち， $H$ が $G$ の演算 $(G, \circ)$ に関して群を成すことをいえばよい．条件より， $H⊂G$ であるから， $H$ のすべての元は，群 $G$ に属する．それゆえ， $H$ は群である．

(ウ)　(ⅰ),(ⅱ) ⇔ (ⅲ)　(直観的証明)

(⇒)

　(ⅰ),(ⅱ)が成立すると仮定すると

①　 $x\circ y∈H$

②　 $y^{-1}∈H$

と書けるので，①と②を合わせて $x\circ y^{-1}∈H$ を構成することができる．

(⇐)

　(ⅲ)が成立すると仮定すると， $H$ の元は

$x\circ y^{-1}∈H$

で表される．とくに $y^{-1}∈H$ であるから

$(y^{-1})^{-1}=y$

より $x\circ y^{-1}∈H$ から $x\circ y∈H$ が導出できる．したがって

$x\circ y^{-1}∈H$ から

①　 $x\circ y∈H$

②　 $y^{-1}∈H$

を得る．

(エ)　(ⅰ),(ⅱ) ⇔ (ⅲ)　(思考的証明)

(ⅰ),(ⅱ) ⇒ (ⅲ)

$∀x∀y［x∈H∧y∈H→x\circ y∈H］∧∀x∃x^{-1}［x∈H→x^{-1}∈H］$

$\vdash ∀x∃y^{-1}［x∈H→y^{-1}∈H∧x\circ y^{-1}∈H］$

1　　(1)　 $∀x∀y［x∈H∧y∈H→x\circ y∈H］$

$∧∀x∃x^{-1}［x∈H→x^{-1}∈H］$ 　前提

1　　(2)　 $∀x∀y［x∈H∧y∈H→x\circ y∈H］$ 　1. ∧-除去

1　　(3)　 $∀y［a∈H∧y∈H→a\circ y∈H］$ 　2. ∀-除去

1　　(4)　 $a∈H∧b∈H→a\circ b∈H$ 　2. ∀-除去

5　　(5)　 $a∈H∧b∈H$ 　仮定

1,5　 (6)　 $a\circ b∈H$ 　4,5. →-除去

1　　(7)　 $∀x∃x^{-1}［x∈H→x^{-1}∈H］$ 　1. ∧-除去

1　　(8)　 $∃x^{-1}［b∈H→x^{-1}∈H］$ 　7. ∀-除去

9　　(9)　 $b∈H→b^{-1}∈H$ 　仮定

5　　(10)　 $b∈H$ 　5. ∧-除去

5,9　 (11)　 $b^{-1}∈H$ 　9,10. →-除去

ここで， $H≤G$ より $H$ は $(G, \circ)$ について閉じているので

$a\circ b^{-1}∈H$

を構成することができる．

1,5,9 (12)　 $a\circ b^{-1}∈H$ 　6,11.

1,5,9 (13)　 $b^{-1}∈H∧a\circ b^{-1}∈H$ 　11,12. ∧-導入

5　　(14)　 $a∈H$ 　5. ∧-除去

1,5　 (15)　 $a∈H→b^{-1}∈H∧a\circ b^{-1}∈H$ 　5-14. →-導入

1,5　 (16)　 $∃y^{-1}［a∈H→y^{-1}∈H∧a\circ y^{-1}∈H］$ 　15. ∃-導入

1　　(17)　 $∃y^{-1}［a∈H→y^{-1}∈H∧a\circ y^{-1}∈H］$ 　16. ∃-除去

1　　(18)　 $∀x∃y^{-1}［x∈H→y^{-1}∈H∧x\circ y^{-1}∈H］$ 　17. ∀-導入

(ⅲ) ⇒ (ⅰ),(ⅱ)

$∀x∃y^{-1}［x∈H→y^{-1}∈H∧x\circ y^{-1}∈H］$

$\vdash ∀x∀y［x∈H∧y∈H→x\circ y∈H］∧∀x∃x^{-1}［x∈H→x^{-1}∈H］$

1　　(1)　 $∀x∃y^{-1}［x∈H→y^{-1}∈H∧x\circ y^{-1}∈H］$ 　前提

1　　(2)　 $∃y^{-1}［a∈H→y^{-1}∈H∧a\circ y^{-1}∈H］$ 　1. ∀-除去

3　　(3)　 $a∈H→b^{-1}∈H∧a\circ b^{-1}∈H$ 　仮定

4　　(4)　 $a∈H$ 　仮定

3,4　 (5)　 $b^{-1}∈H∧a\circ b^{-1}∈H$ 　3,4. →-除去

ここで，逆元の表記について

$b^{-1}:=c$ 　　( $b\circ c=e$ )

を確認し

$b^{-1}∈H∧a\circ c∈H$

に換言する．

3,4　 (6)　 $b^{-1}∈H$ 　5. ∧-除去

3,4　 (7)　 $a\circ c∈H$ 　5. ∧-除去

3　　(8)　 $a∈H→b^{-1}∈H$ 　4-6. →-導入

3　　(9)　 $∃x^{-1}［a∈H→x^{-1}∈H］$ 　8. ∃-導入

1　　(10)　 $∃x^{-1}［a∈H→x^{-1}∈H］$ 　3-9. ∃-除去

1　　(11)　 $∀x∃x^{-1}［x∈H→x^{-1}∈H］$ 　10. ∀-導入

12　 (12)　 $a∈H∧c∈H$ 　仮定

1　　(13)　 $a∈H∧c∈H→a\circ c∈H$ 　7-12. →-導入

☆　3,4の仮定は既に落とされている．

1　　 (14)　 $∀y［a∈H∧y∈H→a\circ y∈H］$ 　13. ∀-導入

1　　 (15)　 $∀x∀y［x∈H∧y∈H→x\circ y∈H］$ 　14. ∀-導入

1　　 (16)　 $∀x∀y［x∈H∧y∈H→x\circ y∈H］$

$∧∀x∃x^{-1}［x∈H→x^{-1}∈H］$ 　11,15. ∧-導入

以上