日記2

自然演繹を積極的に用いたい．

命題 1.1.3 (2) 1項

新妻弘『独習ガロア理論』近代科学社 2023

$x,y,z,......：1つの束縛変項$

$a,b,c,......：1つの自由変項$

$G：1つの群$

$(G,\circ)$

$e：Gの単位元(自由変項)$

とする．このとき

$∀x∃y［x∈G→［y∈G∧x\circ y=e］］$

が成立する．但し

$∀x=［a］_G$

$∃1y=［b］_G$

$x\circ y=y\circ x$

である．

(証明の方針)

(ア)　 $a\circ b=b\circ a$

(イ)　 $a\circ b=e$

をみたすような $b∈G$ が唯一つであることを示したい．そのために，まず

$∀a∈G　∃b∈G$ 　s.t.　 $a\circ b=b\circ a$ 　 $a \circ b=e$

という記号の意味について考える． $G$ の任意の元に対して，条件をみたすような $G$ のある元が存在する．また，そのような $G$ の元が存在しない場合も含む．つまり，実際に条件をみたす $b∈G$ が存在してもしなくても，群 $G$ は定まる．

例　 $有理数体\mathbb{Q}$ の場合

たとえ， $0$ に対する逆元がなくとも $\mathbb{Q}$ は体である．

　次に， $b∈G$ が $G$ の中で各 $a∈G$ に対して

$1番目 ⇔ 1個$

であることを示す．

(ⅰ)　 $bがGの中で各a∈Gについて1番目$

$⇒　bはGの中で各a∈Gについて1個$

　 $b$ が $G$ の中で各 $a$ に対して1番目である，と仮定する．このとき $G$ の演算に関する写像

$G×G→G$ 　 $(a,b)\mapsto a\circ b=e$

について，写像の一意性から

$a\circ b=e$

となるような $b∈G$ は各 $a∈G$ に対して1個である．

(ⅱ)　 $bがGの中で各a∈Gについて1個$

$⇒　bはGの中で各a∈Gについて1番目$

　 $b$ が $G$ の中で各 $a∈G$ に対して1個である，と仮定する．このとき，群の逆元の定義から $b$ を $G$ の中で各 $a∈G$ に対して，1番目と指定すればよい．

　以上より，群 $G$ の逆元は各 $a∈$ に対して一意に決まることが示された．