日記2

自然演繹を積極的に用いたい．

命題 1.1.3 (1) 1項

新妻弘『独習ガロア理論』近代科学社 2023

$x,y,z,......：1つの束縛変項$

$a,b,c,......：1つの自由変項$

$G：1つの群$

$(G,\circ)$

とする．このとき

$∃x∀y［x∈G∧［y∈G→x\circ y=y］］$

が成立する．但し

$∃1x=［e］_G$

$∀y=［a］_G$

$x\circ y=y\circ x$

である．

(証明の方針)

　群 $G$ の単位元 $e$ について

$∃e∈G, ∀a∈G　a\circ e=e\circ a　a\circ e=a$

とはどういう意味だろうか．

$∃e∈G$ 　s.t.　 $a\circ e=e\circ a$ 　 $a\circ e=a$ 　( $∀a∈G$ )

つまり， $e$ というのが $G$ に存在するときに，任意の $G$ の元について条件をみたす． $e$ が存在しないときも，その条件で書ける，と解釈できる．

　一方，1936年までの抽象代数学では

$∀a∈G　∃e∈G$ 　s.t.　 $a\circ e=e\circ a　a\circ e=a$

という数学だった．この記号の意味は，任意の $G$ の元に対して，条件をみたすような $e∈G$ が存在する，である．もちろん， $e$ が $G$ に存在しない場合も含まれる．これだけだとよくわからないので，次のように区分する．

①　∃∀型

②　∀∃型

とする．このとき①から考えてみる．①は $e$ が $G$ に存在するときに群を定義している．もし， $e$ が $G$ に存在しなければ，その集合は群ではない．そして，群でない集合はいま思考しない．

　それに対して，②は $G$ の任意の元に対して $e$ が $G$ に存在するときに群を定める．また， $G$ の任意の元について， $e$ が $G$ に存在しないときも，群を定義している．このような比較から，私も①の∃∀型で群の単位元を定義したいと思う．

　さて本題に入る．

(ア)　 $a\circ e=e\circ a$

(イ)　 $a\circ e=a$

をみたすような $e∈G$ が唯一であることを示したい．そもそも，ものが唯一であるとは

$順序項(数)が1つ ⇔ 計量項(数)が1個$

のことだった．そこで， $e∈G$ が順序として $G$ の中の1番目であり，それが個数として1個であることを証明する．

目標　 $Gの中で1番目の元は1個であること$

(ⅰ)　まず， $e$ が $G$ の中で1番目だと仮定する．このとき

$G×G→G$ 　 $e\circ e=e$

であるので， $e$ は $G$ の中で1個であることがわかる．

(ⅱ)　次に， $e$ が $G$ の中で1個だとして， $e$ が $G$ の中で1番目であることを示す． $G$ の単位元の定義より

$∃e∈G$ 　s.t.　 $a\circ e=a$ 　　( $∀a∈G$ )

であるから， $e$ は $G$ の中で1番目である，と指定すればよい．したがって $e∈G$ は

$1番目 ⇔ 1個$

をみたすことがわかる．