日記2

自然演繹を積極的に用いたい．

判断①　7項

新妻弘『独習ガロア理論』近代科学社 2023

$\mathbb{Z}=\{...,-n-1,-n,...,-1,0,1,...,n,n+1,...\}$

$a,b,c,...,x,y,z,......：1つの束縛変項$

$a_1,a_2,...,b_1,b_2,......：1つの自由変項$

$R：1つの環$

$(R, +, ×)$ 　加法と乗法

$na:=a+\cdots\cdots +a$ 　　( $aがn個$ )

$0a:=0_R$ 　　(零元)

$(-n)a:=n(-a)$

$∀m=［1,2,...,m_1］_{\mathbb{Z}}$

$∀n=［1,2,...,n_1］_{\mathbb{Z}}$

$∀a=［a_1］_R$

$∃n=［n_1］_{\mathbb{N}}$

i.e.

$∀a∃n［a∈R→n∈\mathbb{N}∧na:=a+\cdots\cdots +a］$

に対して

(ⅰ)　 $m(na)=mna$

(ⅱ)　 $(m+n)a=ma+na$

が成立する．

(証明の方針)

　(ⅰ),(ⅱ)ともに両辺が一致することを確かめる．

(ⅰ)について

①　 $m(na)$ を考える．

$m(na)=na+\cdots+na$ 　　 $(naがm個)$

$n$ 倍の定義より

$na=a+\cdots + a$ 　　 $(aがn個)$

であるから

$m(na)=(a+\cdots+a)+\cdots +(a+\cdots +a)$

$=a+\cdots +a$ 　　 $(aはmn個)$ 　　

②　 $mna$ を考える．

$mna=a+\cdots +a$ 　　 $(aはmn個)$

　したがって

$m(na)=mna$

が成立する．

(ⅱ)について

①　 $(m+n)a$ を考える．

$(m+n)a=a+\cdots +a$ 　　 $(aはm+n個)$

②　 $ma+na$ を考える．

$ma+na=(a+\cdots +a)+(a+\cdots +a)$

$=a+\cdots +a$ 　　 $(aはm+n個)$

　それゆえ

$(m+n)a=ma+na$

を得る．

☆　ここでは量の問題はなかった．