日記2

自然演繹を積極的に用いたい．

例1.6　9項　

福田拓生『集合への入門(無限をかいま見る)』培風館 2018

$A:=\{x|x=2m+3n(m,n∈\mathbb{Z})\}$

と置く．このとき $A=\mathbb{Z}$ である．

(証明)

(⇒)　 $x∈A$ 　s.t.　 $x∈A　⇒　x∈\mathbb{Z}$ を示す．

　 $x∈A$ を仮定すると， $A$ の条件より

$x=2m+3n$ 　　( $m, n∈\mathbb{Z}$ )

と書くことができる．いま

$m:=1, n:=2$

と置くと

$x=2+6=8∈\mathbb{Z}$ 　i.e.　 $x∈\mathbb{Z}$

を得る．これより，→-導入から

$x∈A　⇒　x∈\mathbb{Z}$

が成立する．

(⇐)　 $x∈\mathbb{Z}$ 　s.t.　 $x∈\mathbb{Z}　⇒　x∈A$ を示す．

　 $x∈\mathbb{Z}$ を仮定すると， $\mathbb{Z}$ の条件より $\mathbb{Z}$ は和と積で閉じているので

$2m∈\mathbb{Z},　3n∈\mathbb{Z},　2m+3n∈\mathbb{Z}$

で表される．ここで

$x:=2m+3n$ 　　( $m,n∈\mathbb{Z}$ )

と置けば

$x∈A$

を得る．したがって，→-導入より

$x∈\mathbb{Z}　⇒　x∈A$

が成立する．

　以上より， $A⊂\mathbb{Z}∧A⊃\mathbb{Z}$ であるから，三者択一の法則から

$A=\mathbb{Z}$

と成る．▢

$A=\mathbb{Z}$ について

　 $A$ の元はすべて $2m+3n$ で書かれるが， $\mathbb{Z}$ の元はすべて $2m+3n$ で表されるとは限らない．では $A=\mathbb{Z}$ とはどういう意味だろうか？　

$x∈A$ 　s.t.　 $A⊂\mathbb{Z}$

かつ

$x∈\mathbb{Z}$ 　s.t.　 $\mathbb{Z}⊂A$

すなわち

$x∈A$

$x∈\mathbb{Z}$

s.t.　 $A=\mathbb{Z}$

ということである．つまり，部分は全体と一致することもあるし，また全体は部分と一致することもある．それがこの等号の意味である．それゆえ， $\mathbb{Z}$ の元のとり方に依っては， $A=\mathbb{Z}$ が不成立になることもある．しかし，「s.t.」の存在充足性によって，少なくとも1個は $A=\mathbb{Z}$ をみたすような $\mathbb{Z}$ の元がある，と考えることが妥当なように思われる．

$\mathbb{Z}$ の元は，たとえば $2m+3n+4ℓ$ とも書けるので， $\mathbb{Z}$ の元は，必ずしも $2m+3n$ のかたちに成るわけではない．