日記2

自然演繹を積極的に用いたい．

例1.6　9項

福田拓生『集合への入門(無限をかいま見る)』培風館 2018
  • 例1.6　9項

A:=\{x|x=2m+3n(m,n∈\mathbb{Z})\}

と置く．このとき， A=\mathbb{Z}である．

(証明)

A⊂\mathbb{Z}∧\mathbb{Z}⊂A

を示す．

(1)　 A⊂\mathbb{Z}のとき

x=［a］_A　s.t.　[tex: a:=5

に対して

a∈A⇒a∈\mathbb{Z}

をいう． a∈Aを仮定する．このとき

s=［m］_{\mathbb{Z}}　s.t.　 m:=1

t=［n］_{\mathbb{Z}}　s.t.　 n:=1

2m+3n=5　i.e.　 2+3=5∈\mathbb{Z}　i.e.　 a∈\mathbb{Z}

である．したがって，これらを量化すれば

x∈A　⇒　x∈\mathbb{Z}

を得る．

(1)　 \mathbb{Z}⊂Aのとき

x=［b］_{\mathbb{Z}}　s.t.　 b:=1

に対して

b∈\mathbb{Z}　⇒　b∈A

を示す． b∈\mathbb{Z}と仮定する．このとき

s=［m］_{\mathbb{Z}}　s.t.　 m:=-1

t=［n］_{\mathbb{Z}}　s.t.　 n:=1

2m+3n=-2+3=1∈A　i.e.　 b∈A

である．それゆえ，これらを量化すれば

x∈\mathbb{Z}　⇒　x∈A

が成立する．

　以上より A=\mathbb{Z}が示された．▢