日記2

自然演繹を積極的に用いたい．

ある集合族の構成　5項

藤田博司『位相空間のはなし(やわらかいイデアの世界)』日本評論社 2022

$M,N,A：1つの集合$

$y=［b］_{\mathbb{R}}$ 　s.t.

$x=［a］_{\mathbb{R}}$ 　s.t.

$\mathcal{F}:=\{a$ > $b⇒a∈A\}$

とする．このとき

(1)　 $\mathbb{R}∈\mathcal{F}$

(2)　 $\varnothing \not\in \mathcal{F}$

(3)　 $M∈\mathcal{F}　⇒　N∈\mathcal{F}$ 　s.t.　 $M⊂N⊂\mathbb{R}$

(4)　 $M,N∈\mathcal{F}　⇒　M∩N∈\mathcal{F}$

が成立する．

(証明)

(1)について

$a$ > $b　⇒　a∈\mathbb{R}$

を示す． $a$ > $b$ を仮定する．たとえば

$y=［b］_{\mathbb{R}}$ 　s.t.　 $b:=1$

$x=［a］_{\mathbb{R}}$ 　s.t.　 $a:=2$

を構成すると

$2∈\mathbb{R}$ 　i.e.　 $a∈\mathbb{R}$ 　(量化)

を得る．

(2)について

$a$ > $b$ を仮定する．たとえば

$y=［b］_{\mathbb{R}}$ 　s.t.　 $b:=1$

$x=［a］_{\mathbb{R}}$ 　s.t.　 $a:=2$

を構成すると少なくとも1組 $(a,b)$ は

$a$ > $b　⇒　a∈\mathbb{R}$

をみたす．したがって， $\mathcal{F}$ は空集合をその要素として持たない．

(別の説明)

$a$ > $b　⇒　a\not\in \varnothing$

より $\varnothing \not\in \mathcal{F}$ である．

(3)について

　 $M∈\mathcal{F}$ と仮定すると

$y=［m_2］_{\mathbb{R}}$ 　s.t.

$x=［m_1］_{\mathbb{R}}$ 　s.t.

$m_1$ > $m_2　⇒　m_1∈M$

と書ける．いま

$N∈\mathcal{F}$ 　s.t.　 $M⊂N⊂\mathbb{R}$

を考えると， $M⊂N$ より

$m_1∈M　⇒　m_1∈N$

であり $m_1∈\mathbb{R}$ から

$m_1∈N　⇒　m_1∈\mathbb{R}$

を得る．したがって，少なくとも1個は $M⊂N⊂\mathbb{R}$ をみたすような $N∈\mathcal{F}$ が存在する．

(4)について

　 $M∈\mathcal{F}∧N∈\mathcal{F}$ と仮定する．∧-除去より

$M∈\mathcal{F}$ 　i.e.　 $m_1$ > $m_2　⇒　m_1∈M$

∧-除去より

$N∈\mathcal{F}$ 　i.e.　 $m_1$ > $m_2　⇒　m_1∈N$

∧-導入より

$m_1∈M∧m_1∈N$ 　i.e.　 $m_1∈M∩N$

である．したがって

$m_1$ > $m_2　⇒　m_1∈M∩N$

を得る．すなわち $M∩N∈\mathcal{F}$ ．▢