日記2

自然演繹を積極的に用いたい．

一次写像(線型写像)　14項

佐武一郎『線型代数学』裳華房 2023 新装第2版

写像

　 $m$ 次元ベクトル空間から， $n$ 次元ベクトル空間への写像 $f$ を考える．すなわち， $f$ により $m$ 次元ベクトル $\mathbf{x}$ に $n$ 次元ベクトル $\mathbf{y}$ が対応するとき

$\mathbf{y}=f(\mathbf{x})$ 　あるいは　 $f:\mathbf{x}→\mathbf{y}$

と書く．

上への写像

　 $\mathbf{y}$ に対して， $f(\mathbf{x})=\mathbf{y}$ となるような $\mathbf{x}$ が少なくとも1個存在する．

i.e.　 $∀\mathbf{y}∃\mathbf{x}$ 　s.t.　 $f(\mathbf{x})=\mathbf{y}$

i.e.　

$\mathbf{y}=［\mathbf{b}_1,...,\mathbf{b}_n］$ 　s.t.　①

$\mathbf{x}=［\mathbf{a}_1,...,\mathbf{a}_m］$ 　s.t.　②

$f(\mathbf{x})=\mathbf{y}$

をみたすとき， $f$ は $\mathbf{x}$ から $\mathbf{y}$ への上への写像という．

一対一の写像

　また，そのような $\mathbf{x}$ が多くとも(高々)1個しかないとき， $f$ は一対一の写像である，という．

一次写像(線型写像)

$\mathbf{x}=［\mathbf{a}_1,...,\mathbf{a}_m］$ 　s.t.　 $m:=1,2$

$c：スカラー(数)$

に対して

(ⅰ)　 $f(\mathbf{a}_1+\mathbf{a}_2)=f(\mathbf{a}_1)+f(\mathbf{a}_2)$

(ⅱ)　 $f(c\mathbf{a})=cf(\mathbf{a})$

が成立するとき， $f$ は線型である，という．

線型写像の例

$A：1つの(i,j)行列$

$\mathbf{x}=［\mathbf{a}_1,...,\mathbf{a}_m］$ 　s.t.　 $m:=1,2$

に対して， $\mathbf{x}$ に行列としての積 $A\mathbf{x}$ を対応させる．このとき，対応

$f:\mathbf{x}→\mathbf{y}$ 　　 $\mathbf{y}=A\mathbf{x}$

は1つの線型写像である．

(証明)

$s=［i］$ 　s.t.　 $i:=1$

$t=［j］$ 　s.t.　 $j:=1$

と定める．

(ⅰ)　 $A(\mathbf{a}_1+\mathbf{a}_2)=A(\mathbf{a}_1)+A(\mathbf{a}_2)$ を示す．

　数の性質より

$A(\mathbf{a}_1+\mathbf{a}_2)=a(a_1+a_2)=aa_1+aa_2=A(a_1)+A(a_2)$

$=A(\mathbf{a}_1)+A(\mathbf{a}_2)$

を成す．

(ⅱ)　 $A(c\mathbf{a})=c(A\mathbf{a})$ を示す．

$A(c\mathbf{a})$

$=a_{11}(ca)=(a_{11}c)a$ 　　(13),9項

$=c(a_{11}a)=c(A\mathbf{a})$

による．▢