日記2

自然演繹を積極的に用いたい．

定理2　19項

佐武一郎『線型代数学』裳華房 2023 新装第2版

定理2　19項

$A：(i,j)行列$

$f:\mathbf{x}→A\mathbf{x}$ 　(写像)

但し $\mathbf{x}$ は $m$ 次元ベクトル

とする(一次写像の前提)．このとき， $m$ 次元ベクトル空間から $n$ 次元ベクトル空間への1つの写像を定義する．逆に $m$ 次元ベクトル空間から $n$ 次元ベクトル空間への1つの一次写像は1つの $(i,j)$ 行列によって

$f(\mathbf{x}):=A\mathbf{x}$ 　　( $Aはfによって一意的に決まる$ )

(準備)

　順は先に示されたので逆を示す．すなわち

$1つの一次写像が存在する　⇒　1つの(i,j)行列に対してf(\mathbf{x}):=A\mathbf{x}が定まる$

1つの一次写像

$\mathbf{x}=［\mathbf{a}_1,...,\mathbf{a}_m］$ 　s.t.　 $m:=1,2$

(ⅰ)　 $f(\mathbf{a}_1+\mathbf{a}_2)=f(\mathbf{a}_1)+f(\mathbf{a}_2)$

(ⅱ)　 $f(c\mathbf{x})=cf(\mathbf{x}),　cは自由変項(スカラー)$

1つの $(i,j)$ 行列 $A$

$\mathbb{Z}^+=\{1,2,...,n,n+1,......\}$

$s=［i］_{\mathbb{Z}^+}$ 　s.t.　 $i:=1$

$t=［j］_{\mathbb{Z}^+}$ 　s.t.　 $j:=1$

$A=\mathbf{a}=a_{11}$

(証明)

　1つの一次写像が存在すると仮定すると，一次写像の前提より

$A：(1,1)行列$

$f:\mathbf{x}→a_{11}\mathbf{x}$ 　(写像)

であるから

$f(\mathbf{x}):=a_{11}\mathbf{x}$ 　☆

を定めることができる．もちろん，与えられた写像の一意性により，☆も一意に定まる．このような☆を量化すれば

$f(\mathbf{x}):=A\mathbf{x}$

を得る．▢