日記2

自然演繹を積極的に用いたい．

クロネッカーのデルタ　12項

佐武一郎『線型代数学』裳華房 2023 新装第2版

クロネッカーのデルタ　12項

　単位行列 $E$ の $(i,j)$ 成分を $δ_{ij}$ で表せば

$k=［i］_{\mathbb{Z}^+}$ 　s.t.

$r=［j］_{\mathbb{Z}^+}$ 　s.t.

$δ_{ij}:=$

$1　　(i=j)$

∨

$0　　(i≠j)$

であり，これをクロネッカーのデルタとよぶ．但し， $i,j$ のとり方は $n$ 次正方行列の表示に依存する．つまり，行列成分 $a_{ij}$ に対して $a_{11}=1,a_{21}=0$ など．

例　

　 $(n,n)$ 型単位行列 $E_{ij}$ の $(p,q)$ 成分は $δ_{ip}δ_{jq}$ で表される．すなわち

$u=［p］_{\mathbb{Z}^+}$ 　s.t.

$v=［q］_{\mathbb{Z}^+}$ 　s.t.

$E_{ij}=δ_{ip}δ_{jq}$

である．たとえば

(1)　 $E_{21}=0$ について $p:=1,q:=2$ と置ける．i.e.　 $E_{21}=δ_{21}δ_{12}．$

(2)　 $E_{22}=1$ について $p:=2,q:=2$ と置ける．i.e.　 $E_{22}=δ_{22}δ_{22}．$

　たとえば3次正方行列の単位行列を考えると(行列成分の個数は9個)

$E_{ij}$ 　( $i≠j$ )

について，対角成分は1であり，その個数は3個である．したがって

$9-3=6$

が行列成分0の個数である．