演習2　三角不等式　6項

　座標平面 $\mathbb{R}^2$ に対して点 $P(p_1,p_2),Q(q_1,q_2)$ の間の距離を

$d(P,Q):=\sqrt{(p_1-q_1)^2+(p_2-q_2)^2}$

で定める．いま，1つの点 $A,B,C$ について三角不等式

$d(A,C)≤d(A,B)+d(B,C)$

が成立する．

(証明)

　等号の関係を示せば，∨-導入により不等号が示される．すなわち

$d(A,C)=d(A,B)+d(B,C)$ 　i.e.　 $d(A,C)≤d(A,B)+d(B,C)$ 　

である．

$d(A,C)=\sqrt{(a_1-c_1)^2(a_2-c_2)^2}$

に対して

$\mathbb{Z}^+=\{1,2,...,m,m+1,...,n,n+1,......\}$

$i=［1,2,...,m］_{\mathbb{Z}^+}$ 　s.t.　 $m:=1$

$j=［1,2,...,n］_{\mathbb{Z}^+}$ 　s.t.　 $n:=2$

$a_1:=1,　c_1:=1$

$a_2:=2,　c_2:=2$

と置けば

$d(A,C)=0$

同様にして

$d(A,B)=0,　d(B,C)=0$

であるから

$d(A,C)=d(A,B)+d(B,C)$ 　☆

を得る．ここで，∨-導入を☆に適用すると

$d(A,C)≤d(A,B)+d(B,C)$

が成立する．▢

日記2