日記2

自然演繹を積極的に用いたい．

部分集合の例1.5　9項

福田拓生『集合への入門(無限をかいま見る)』培風館 2018

部分集合の例1.5　9項

$A:=\{x|x=6m(m∈\mathbb{Z})\}$

$B:=\{y|y=3n(n∈\mathbb{Z})\}$

と置く．このとき $A⊆B$ である．

(証明)

$A=B$ を示す．

$x=［a］_A$ 　s.t.　 $a:=6$

と置けば

$6=3k$ 　　( $k:=2$ )

であるから，量化より

$x∈A⇒x∈B$ 　i.e.　 $A⊂B$

を得る．逆に

$y=［b］_B$ 　s.t.　 $b:=6$

と置くと

$6=6s$ 　　( $s:=1$ )

であるから，量化より

$x∈B⇒x∈A$ 　i.e.　 $B⊂A$

である．したがって

$A=B$

であるが， $B$ について $b:=3$ のとき $￢(b∈A)$ である．すなわち

$y∈B⇒￢(y∈A)$ 　(量化)

である．このことから $A⊂B$ であることがわかる．それゆえ， $A=B$ に対して∨-導入より

$A⊆B$

である．▢

補足

　包含関係もsuch.that.で記述されているため，たとえば $A=B$ と雖も $B$ の一部分でしか包含関係は成立していない．それなので $b∈B$ について $￢(b∈A)$ のようなことが十分にあり得る．このように，等号関係及び包含関係も慎重に考える必要がある．