日記2

自然演繹を積極的に用いたい．

問題 1.1　5項

福田拓生『集合への入門(無限をかいま見る)』培風館 2018

$a,b,c,...,x,y,z,......：1つの束縛変項(数)$

$a_1,a_2,...,b_1,b_2,......：1つの自由変項(数)$

とする．

問題 1.1

　次の集合を括弧を使って表せ．

(1)　 $1以上100以下の自然数全体の集合$

$\{n∈\mathbb{N}| 1≤n≤100\}$

数学の「普通」はこのような表示である．しかし，これを論理的に書けば

$\{x| ∀x［x∈\mathbb{N}→1≤x∧x≤100］\}$ 　☆

である．これからはできるだけ☆のように表示して行きたい．

(2)　 $5で割ると2余る自然数全体の集合$

$\{x|∃y∀x［y∈\mathbb{N}→［x∈\mathbb{N}→x=5y+2］\}$

(3)　 $\{z|∀x∀y∀z［f(x)∈\mathbb{R}$

$→［f(x,y)∈\mathbb{R}^2→［f(x,y)=z∈\mathbb{R}^2$

$→f(x,y):=x^2+y^2=z$ < $1］］］\}$

但し，関数 $f(x,y)$ はある終域に属し， $z$ は選ばれた終域の中で，すべての値をとる(値域)．

(4)　 $［a, b)=\{x|∃a∃b∀x［［a∈\mathbb{R}∧b∈\mathbb{R}］$

$→［x∈\mathbb{R}→［a≤x∧x$ < $b］］］\}$

(5)　 $(-\infty, a)=\{x|∃a∀x［a∈\mathbb{R}→［x∈\mathbb{R}→x$ < $a］］\}$

(6)　 $［a, \infty)=\{x|∃a∀x［a∈\mathbb{R}→［x∈\mathbb{R}→a≤x］］\}$