日記2

自然演繹を積極的に用いたい．

定理 1.1.17　4項

新妻弘『独習ガロア理論』近代科学社 2023

$x,y,z,......：1つの束縛変項$

$a,b,c,......：1つの自由変項$

$(G, \circ)：1つの群$

$H≤G$

$|G：H|=2$

$|G/H|:=\displaystyle\frac{n}{m}$

$|G|:=2m$ 　有限群

$|H|:=m$

とする．このとき

$H\triangleleft G$

である．

(証明の方針)

$∀x∈G　xH=Hx$

$∀x=［a］_G$

を示す．

$|G：H|=|G/H|=\displaystyle\frac{n}{m}=2$ より

$n=2, m=1$

である．とくに $m=1$ から

$H=\{e\}$

がわかる．これより単位元の性質を考えると，単位元は交換性があるので

$∀x∈G　xH=Hx$

$∀x=［a］_G$

が成立する．したがって， $H\triangleleft G$ である．