日記2

自然演繹を積極的に用いたい．

定理 1.1.13 3項

新妻弘『独習ガロア理論』近代科学社 2023

巡回群の部分群は巡回群である

$x,y,z,......：1つの束縛変項$

$a,b,c,......：1つの自由変項$

$(G, \circ)：1つの群$

$H≤G$

$G：巡回群$ 　i.e.　 $∀x∈G　∃a∈G$ 　s.t.　 $G=$ < $a$ >

但し

< $a$ > $:=\{x|x=a^n(n∈\mathbb{Z})\}⊂G$

< $b$ > $:=\{y|y=a^m(m∈\mathbb{Z})\}⊂G$

$∀x∃y［x∈G→y∈G∧x=y］$

$∀x=［c,d］_G$

$∃y=［a^n,b^m］_G$

$\mathbb{Z}=\{...,-n,-n+1,...-1,0,1,...,n,n+1,...\}$

$∃k=［1,...,m,n］_{\mathbb{Z}}$

とする．このとき巡回群< $a$ >，< $b$ >に対して

< $b$ > $≤$ < $a$ >

である．

(証明の方針)

　条件 $H≤G$ ， $G$ は巡回群より

$G=$ < $a$ >

$G=$ < $b$ >

で表されるとき $G≤G$ から

< $b$ > $≤$ < $a$ >

を得る．