日記2

自然演繹を積極的に用いたい．

命題 1.1.19　5項

新妻弘『独習ガロア理論』近代科学社 2023

$x,y,z,......：1つの束縛変項$

$a,b,c,......：1つの自由変項$

$(G, \circ)：1つの群$

$H,K≤G$

$H\triangleleft G$

$H∧K：HとKを含むGの最小の部分群$

とする．このとき

(ⅰ)　 $HK=KH$

(ⅱ)　 $H∧K=HK$

が成立する．

(証明の方針)

$HK$ の内包

$∀x∀y∀z［x∈HK→［y∈H→［z∈K→x=yz］］］$

(ⅰ)について

(ア)　 $HK⊂KH$

(イ)　 $KH⊂HK$

を示す．

(ア)　 $∀x［x∈HK→x∈KH］$ をいう．そのために

$∀x［x∈HK］\vdash ∀x［x∈HK→x∈KH］$

を示せばよい．

1　(1)　 $∀x［x∈HK］$ 　前提

1　(2)　 $a∈HK$ 　1. ∀-除去

3　(3)　 $a∈KH$ 　仮定　　 $H\triangleleft G$ 　 $a=h\circ k=k\circ h$ 　☆

1　(4)　 $a∈HK→a∈HK$ 　2-3. →-導入

1　(5)　 $∀x［x∈HK→x∈KH］$ 　4. ∀-導入

(イ)　(ア)と同様．

(ⅱ)　(ⅰ)の証明方法で同じように示される．但し☆の部分について

$∀x［x∈H∧K］$

に対して $H,K≤G$ であるので $H,K$ は $G$ の演算 $(G, \circ)$ で閉じているから $a∈HK$ と仮定してよい．また，同様の理由で $a∈H∧K$ という仮定も許される．