日記2

自然演繹を積極的に用いたい．

集合の要素の個数　2

文英堂『高校これでわかる数学Ⅰ+ A』2012

147項　類題111

問題略

(解答)

$U$ ：全体集合

$U:=\{w∈\mathbb{N}|100≤w≤200\}$

$n(U)=101$

$100≤w∧w≤200$ に対して

$100≤w$ 　(∧-除去)

(Ⅰ)　 $100$ < $w$

または

(Ⅱ)　 $w=100$ 　 $n(U)=101$ より(Ⅱ)を棄却

これより

$w:=101$

と置く．このとき

(1)について

$A,B⊆U$

$A:=\{x|x=3s(s∈\mathbb{N})\}$

$∀x［x∈A→∃x［x∈U∧x=a］］$

$x=［a］_A$ 　 $a:=101$

$101=3s$ 　i.e.　 $s=33+2$

$B:=\{y|y=5t(t∈\mathbb{N})\}$

$∀y［y∈B→∃y［y∈U∧y=b］］$

$y=［b］_B$ 　 $b:=101$

$101=5t$ 　i.e.　 $t=20+1$

$A∩B=\{z|z=15u(u∈\mathbb{N})\}$

$∀z［z∈A∩B→∃z［z∈U∧z=c］］$

$z=［c］_{A∩B}$ 　 $c:=101$

$101=15u$ 　i.e.　 $u=6+11$

これより

$n(A∪B)=n(A)+n(B)-n(A∩B)=33+20-6=47$

である．

(2)について

ここで

$n(A∩B^c)=n(A)-n(A∩B)$

を用いて

$n(A∩B^c)=n(A)-n(A∩B)=33-6=27$

を得る．

(3)について

$n(A∩B)^c=n(U)-n(A∩B)=101-6=95$

を得る．▢