ラッセルの背理(パラドックス)

ラッセルの背理

　 $\mathfrak{X}:=\{X|Xは1つの集合\}$ 　但しここでは $X$ を限量しない．
$いま，\mathfrak{X}$ を集合と認めると，次のような矛盾が起こる． $\mathfrak{X}$ を集合と認めると， $\mathfrak{X}$ 自身も $\mathfrak{X}$ の元である．すなわち

$\mathfrak{X}∈\mathfrak{X}$

である．今までの集合はたとえば $a∈A$ は自分自身を元として含んでいない．したがって，集合とは

①　自分自身を元として含むもの

②　自分自身を元として含まないもの

がある．

　 $X∈X$ であるような集合を第一種の集合， $X∉X$ であるような普通の集合を第二種の集合と呼ぶことにする．これより

$\mathfrak{X}_1:=\{X|Xは集合でX∈X\}$

$\mathfrak{X}_2:=\{X|Xは集合でX∉X\}$

と置く．このとき

$\mathfrak{X}=\mathfrak{X}_1∪\mathfrak{X}_2$

$\mathfrak{X}_1∩\mathfrak{X}_2=\varnothing$

である．

　いま， $\mathfrak{X}$ を集合と認めるとき， $\mathfrak{X}∈\mathfrak{X}$ であるから， $\mathfrak{X}$ は第一種の集合である．さて，集合 $\mathfrak{X}_2$ は第一種か第二種であるかのどちらかである(排中律)．

　もし，仮に $\mathfrak{X}_2$ が第一種の集合であるとすると，第一種の集合の定義より， $\mathfrak{X}_2∈\mathfrak{X}_2$ と成る．しかし， $\mathfrak{X}_2$ が第二種の集合の集合全体を成す集合であるので， $\mathfrak{X}_2∈\mathfrak{X}_2$ ということは， $\mathfrak{X}_2$ は第二種の集合ということに成る．それに対して， $\mathfrak{X}_2$ が第一種の集合であるという仮定がある．さらに， $\mathfrak{X}_1∩\mathfrak{X}_2=\varnothing$ であるので，これは矛盾である．

　一方， $\mathfrak{X}_2$ が第二種の集合であるとすると，第二種の集合の定義より， $\mathfrak{X}_2∉\mathfrak{X}_2$ ， $\mathfrak{X}_2∈\mathfrak{X}$ と成る．そうすると， $\mathfrak{X}=\mathfrak{X}_1∪\mathfrak{X}_2$ であるから， $\mathfrak{X}_2∈\mathfrak{X}_1(集合の性質)$ ということに成るので $\mathfrak{X}_2$ は第一種の集合ということに成る．これより， $\mathfrak{X}_2$ が第二種の集合であるという仮定と矛盾する．▢

日記2

自然演繹を積極的に用いたい．

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