日記2

自然演繹を積極的に用いたい．

集合の性質(命題1.2)

福田拓生『集合への入門(無限をかいま見る)』培風館 2018

命題1.2　9項

$A：集合$

とする．このとき

(Ⅰ)　 $A⊆A$

(Ⅱ)　 $\varnothing ⊆A$

(Ⅲ)　 $￢(A=\varnothing)→￢(A⊂\varnothing)$

が成立する(真)．

(証明)

(Ⅰ)について

　同一の原理より $A=A$ であるから

$A⊆A$ 　　(∨-導入)

を得る．

(Ⅱ)について

$∀x［x∈A→∃x［x∈A∧x=a］］$

$x=［a］_A$ 　(∀-除去)

$a∈\varnothing → a∈A$ の対偶

$￢(a∈A)→￢(a∈\varnothing)$

を示す．

補足

　条件は $x∈A$ であるが，論証は仮定の話(対偶)なので $￢(a∈A)$ を仮定しても $x∈A$ と矛盾しない．この段階では各判断の真偽は知り得ない．

1　(1)　 $￢(a∈A)$ 　　仮定

2　(2)　 $a∈\varnothing$ 　　仮定

　 (3)　 $￢(a∈\varnothing)$ 　　空集合の定義

2　(4)　 $\perp$ 　　2,3.￢-除去

　 (5)　 $￢(a∈\varnothing)$ 　　2-4.￢-導入

　 (6)　 $￢(a∈A)→￢(a∈\varnothing)$ 　　1-5.→-導入

　 (7)　 $￢(x∈A)→￢(x∈\varnothing)$ 　　3.∀-導入

　ゆえに対偶が真なる命題であり，元の判断も真なる命題であることがわかったので

$∀x［x∈A→∃x［x∈A∧x=a］］$

$x∈\varnothing→x∈A$ 　(元の判断も真なる命題)

i.e.　 $\varnothing⊆A$

が示された．

(Ⅲ)について

$∀x［x∈A→∃x［x∈A∧x=a］］$

$x=［a］_A$ 　(∀-除去)

$￢(A=\varnothing)→［a∈A→￢(a∈\varnothing)］$

を示す．

1　(1)　 $￢(A=\varnothing)$ 　　仮定

2　(2)　 $a∈A$ 　　仮定

3　(3)　 $a∈\varnothing$ 　　仮定

　 (4)　 $￢(a∈\varnothing)$ 　　空集合の定義

3　(5)　 $\perp$ 　　3,4.￢-除去

　 (6)　 $￢(a∈\varnothing)$ 　　3-5.￢-導入

　(7)　 $a∈A→￢(a∈\varnothing)$ 　2-6.→-導入

　 (8)　 $￢(A=\varnothing)→［a∈A→￢(a∈\varnothing)］$ 　　1-7.→-導入

　 (9)　 $￢(A=\varnothing)→［x∈A→￢(x∈\varnothing)］$ 　　 8.∀-導入

　したがって

$∀x［x∈A→∃x［x∈A∧x=a］］$

$￢(A=\varnothing)→［x∈A→￢(x∈\varnothing)］$

i.e.

$￢(A=\varnothing)→￢(A⊂\varnothing)$

を得る．▢