日記2

自然演繹を積極的に用いたい．

集合の性質(定理1.3)

福田拓生『集合への入門(無限をかいま見る)』培風館 2018

定理1.3　10項

$A,B,C：集合$

とする．このとき

$［A⊆B∧B⊆C］→A⊆C$

が成立する．

(証明)

$∀x［x∈A→∃x［x∈A∧x=a］］$

$x=［a］_A$ 　(∀-除去)

$［a∈A→a∈B∧a∈B→a∈C］→［a∈A→a∈C］$

を示す．

1　　(1)　 $［a∈A→a∈B］∧［a∈B→a∈C］$ 　　仮定

2　　(2)　 $a∈A$ 　　仮定

1　　(3)　 $a∈A→a∈B$ 　　1.∧-除去

1　　(4)　 $a∈B→a∈C$ 　　1.∧-除去

1,2　 (5)　 $a∈B$ 　　2,3.→-除去

1,2　 (6)　 $a∈C$ 　　4,5.→-除去

1　　(7)　 $a∈A→a∈C$ 　　2-6.→-導入

　　 (8)　 $［a∈A→a∈B∧a∈B→a∈C］$

$→［a∈A→a∈C］$ 　　1-7.→-導入

　　 (9)　 $［x∈A→x∈B∧x∈B→x∈C］$

$→［x∈A→x∈C］$ 　　8.∀-導入

　したがって

$∀x［x∈A→∃x［x∈A∧x=a］］$

$［x∈A→x∈B∧x∈B→x∈C］→［x∈A→x∈C］$

i.e.

$［A⊆B∧B⊆C］→A⊆C$

が示された．▢