日記2

自然演繹を積極的に用いたい．

集合の性質(定理2.3 分配法則)

福田拓生『集合への入門(無限をかいま見る)』培風館 2018

定理2.3　分配法則　15項

$A,B,C：1つの集合$

とする．このとき次が成立する．

(Ⅰ)　 $(A∪B)∩C=(A∩C)∪(B∩C)$

(Ⅱ)　 $(A∩B)∪C=(A∪C)∩(B∪C)$

(証明)

(Ⅰ)について

(ア)　 $(A∪B)∩C⊆(A∩C)∪(B∩C)$

(イ)　 $(A∪B)∩C⊇(A∩C)∪(B∩C)$

のうち(ア)のみを示す．

(ア)に関して

$∀x［x∈(A∪B)∩C→∃x［x∈(A∪B)∩C∧x=a］］$

$x=［a］_{(A∪B)∩C}$ 　(∀-除去)

$a∈(A∪B)∩C→a∈(A∩C)∪(B∩C)$

i.e.

$［［a∈A∨a∈B］∧a∈C］$

$→［［a∈A∧a∈C］∨［a∈B∧a∈C］］$

をいう．

1　　(1)　 $［a∈A∨a∈B］∧a∈C$ 　　仮定

1　　(2)　 $a∈A∨a∈B$ 　　1.∧-除去

3　　(3)　 $a∈A$ 　　仮定

1　　(4)　 $a∈C$ 　　1.∧-除去

1,3　 (5)　 $a∈A∧a∈C$ 　　3,4.∧-導入

1,3　 (6)　 $［a∈A∧a∈C］∨［a∈B∧a∈C］$ 　　5.∨-導入

7　　(7)　 $a∈B$ 　　仮定

1,7　 (8)　 $a∈B∧a∈C$ 　　4,7.∧-導入

1,7　 (9)　 $［a∈A∧a∈C］∨［a∈B∧a∈C］$ 　　8.∨-導入

1,3　 (10)　 $［a∈A∧a∈C］∨［a∈B∧a∈C］$ 3-6,7-9.∨-除去

1　　(11)　 $［a∈A∧a∈C］∨［a∈B∧a∈C］$ 　2-10.∨-除去

　　 (12)　 $［［a∈A∨a∈B］∧a∈C］］$

$→［［a∈A∧a∈C］∨［a∈B∧a∈C］］$ 　　1-11.→-導入

　　 (13)　 $［［x∈A∨x∈B］∧x∈C］］$

$→［［x∈A∧x∈C］∨［x∈B∧x∈C］］$ 　　12.∀-導入

を得る．したがって，(Ⅰ)の(ア)が示された．(イ)も同様にして示される．

(Ⅱ)について

(ア)　 $(A∩B)∪C⊆(A∪C)∩(B∪C)$

(イ)　 $(A∩B)∪C⊇(A∪C)∩(B∪C)$

のうち(ア)のみを示す．

(ア)に関して

$∀x［x∈(A∩B)∪C→∃x［x∈(A∩B)∪C∧x=a］］$

$x=［a］_{(A∩B)∪C}$ 　(∀-除去)

$a∈(A∩B)∪C→a∈(A∪C)∩(B∪C)$

i.e.

$［［a∈A∧a∈B］∨a∈C］$

$→［［a∈A∨a∈C］∧［a∈B∨a∈C］］$

をいう．

1　(1)　 $［a∈A∧a∈B］∨a∈C$ 　　仮定

2　(2)　 $a∈A∧a∈B$ 　　仮定

2　(3)　 $a∈A$ 　　2.∧-除去

2　(4)　 $a∈A∨a∈C$ 　　3.∨-導入

2　(5)　 $a∈B$ 　　2.∧-除去

2　(6)　 $a∈B∨a∈C$ 　　5.∨-導入

2　(7)　 $［a∈A∨a∈C］∧［a∈B∨a∈C］$ 　　4,6.∧-導入

8　(8)　 $a∈C$ 　　仮定

8　(9)　 $a∈A∨a∈C$ 　　8.∨-導入

8　(10)　 $a∈B∨a∈C$ 　　8.∨-導入

8　(11)　 $［a∈A∨a∈C］∧［a∈B∨a∈C］$ 　　9,10.∧-導入

2　(12)　 $［a∈A∨a∈C］∧［a∈B∨a∈C］$ 　　8-11.∨-除去

1　(13)　 $［a∈A∨a∈C］∧［a∈B∨a∈C］$ 　1,2-12.∨-除去

　 (14)　 $［［a∈A∧a∈B］∨a∈C］$

$→［［a∈A∨a∈C］∧［a∈B∨a∈C］］$ 　　1-13.→-導入

　 (15)　 $［［x∈A∧x∈B］∨x∈C］$

$→［［x∈A∨x∈C］∧［x∈B∨x∈C］］$ 　　14.∀-導入

を得る．

　したがって，(Ⅱ)の(ア)が示された．(イ)も同様にして示される．▢