日記2

自然演繹を積極的に用いたい．

集合の性質(定理2.2 結合法則)

福田拓生『集合への入門(無限をかいま見る)』培風館 2018

定理2.2　(結合法則)　14項

$A,B,C：1つの集合$

とする．このとき次が成立する．

(1)　 $(A∪B)∪C=A∪(B∪C)$

(2)　 $(A∩B)∩C=A∩(B∩C)$

(証明)

(1)について

(ア)　 $(A∪B)∪C⊆A∪(B∪C)$

(イ)　 $(A∪B)∪C⊇A∪(B∪C)$

のうち，(イ)は(ア)と同様に示されるので，(ア)のみを示す．

(ア)について

$∀x［x∈(A∪B)∪C→∃x［x∈(A∪B)∪C∧x=a］］$

$x=［a］_{(A∪B)∪C}$ 　(∀-除去)

$a∈(A∪B)∪C→a∈A∪(B∪C)$

i.e.

$［［a∈A∨a∈B］∨a∈C］→［a∈A∨［a∈B∨a∈C］］$

をいう．

1　(1)　 $［a∈A∨a∈B］∨a∈C$ 　　仮定

2　(2)　 $a∈A∨a∈B$ 　　仮定

3　(3)　 $a∈A$ 　　仮定

3　(4)　 $a∈A∨［a∈B∨a∈C］$ 　　3.∨-導入

5　(5)　 $a∈B$ 　　仮定

5　(6)　 $a∈B∨a∈C$ 　　5.∨-導入

5　(7)　 $a∈A∨［a∈B∨a∈C］$ 　　6.∨-導入

3　(8)　 $a∈A∨［a∈B∨a∈C］$ 　　3-4,5-7,∨-除去

2　(9)　 $a∈A∨［a∈B∨a∈C］$ 　　2-8,∨-除去

10 (10)　 $a∈C$ 　　仮定

10 (11)　 $a∈B∨a∈C$ 　　10.∨-導入

10 (12)　 $a∈A∨［a∈B∨a∈C］$ 　　11.∨-導入

1　(13)　 $a∈A∨［a∈B∨a∈C］$ 　　1,10-12.∨-除去

　 (14)　 $［［a∈A∨a∈B］∨a∈C］$

$→［a∈A∨［a∈B∨a∈C］］$ 　　1-13.→-導入

　 (14)　 $［［x∈A∨x∈B］∨x∈C］$

$→［x∈A∨［x∈B∨x∈C］］$ 　　14.∀-導入

を得る．それゆえ，(1)の(ア)が示された．

(2)について

(ア)　 $(A∩B)∩C⊆A∩(B∩C)$

(イ)　 $(A∩B)∩C⊇A∩(B∩C)$

に関して，(ア)のみを示す．

(ア)について

$∀x［x∈(A∩B)∩C→∃x［x∈(A∩B)∩C∧x=a］］$

$x=［a］_{(A∩B)∩C}$ 　(∀-除去)

$a∈(A∩B)∩C→a∈A∩(B∩C)$

i.e.

$［［a∈A∧a∈B］∧a∈C］→［a∈A∧［a∈B∧a∈C］］$

をいう．

1　(1)　 $［a∈A∧a∈B］∧a∈C$ 　　仮定

1　(2)　 $a∈A∧a∈B$ 　　1.∧-除去

1　(3)　 $a∈A$ 　　2.∧-除去

1　(4)　 $a∈B$ 　　2.∧-除去

1　(5)　 $a∈C$ 　　1.∧-除去

1　(6)　 $a∈B∧a∈C$ 　　4,5.∧-導入

1　(7)　 $a∈A∧［a∈B∧a∈C］$ 　　3,6.∧-除去

　 (8)　 $［［a∈A∧a∈B］∧a∈C］$

$→［a∈A∧［a∈B∧a∈C］］$ 　　1-8.→-導入

　 (9)　 $［［x∈A∧x∈B］∧x∈C］$

$→［x∈A∧［x∈B∧x∈C］］$ 　　9.∀-導入

を得る．したがって，(2)の(ア)が示された．(イ)も同様．▢