日記2

自然演繹を積極的に用いたい．

集合の性質(定理2.1)

福田拓生『集合への入門(無限をかいま見る)』培風館 2018

定理2.1　11項

$A,B：集合$

とする．このとき次が成立する．

(1)

(ア)　 $A⊆A∪B$

(イ)　 $B⊆A∪B$

(2)

(ア)　 $A∩B⊆A$

(イ)　 $A∩B⊆B$

(3)　交換法則

(ア)　 $A∪B=B∪A$

(イ)　 $A∩B=B∩A$

(証明)

(1)

(ア)について

$∀x［x∈A→∃x［x∈A∧x=a］］$

$x=［a］_A$ 　(∀-除去)

$a∈A→a∈A∪B$

を示す．

$a∈A∪B$ 　i.e.　 $a∈A∨a∈B$ 　(和集合の定義)

1　(1)　 $a∈A$ 　　仮定

1　(2)　 $a∈A∨a∈B$ 　　1.∨-導入

　 (3)　 $a∈A→［a∈A∨a∈B］$ 　　1-2.→-導入

　 (4)　 $x∈A→［x∈A∨x∈B］$ 　　3.∀-導入

i.e.　 $x∈A→x∈A∪B$

　したがって，(1)の(ア)を得る．

(イ)について

　(ア)と同様に示される．

(2)

(ア)について

$∀x［x∈A∩B→∃x［x∈A∩B∧x=a］］$

$x=［a］_{A∩B}$ 　(∀-除去)

$a∈A∩B→a∈A$

を示す．

$a∈A∩B$ 　i.e.　 $a∈A∧a∈B$ 　(共通部分の定義)

1　(1)　 $a∈A∧a∈B$ 　　仮定

1　(2)　 $a∈A$ 　　1.∧-除去

　 (3)　 $a∈A∧a∈B→a∈A$ 　　1-2.→-導入

　 (4)　 $x∈A∧x∈B→x∈A$ 　　 3.∀-導入

i.e.　 $x∈A∩B→x∈A$

を得る．したがって，(2)の(ア)が示された．

(イ)について

　(ア)と同様にして示される．

(3)

(ア)について

(ⅰ)　 $A∪B⊆B∪A$

かつ

(ⅱ)　 $B∪A⊆A∪B$

を示す．(ⅱ)は(ⅰ)と同様に示されるので(ⅰ)のみをいう．

$∀x［x∈A∪B→∃x［x∈A∪B∧x=a］］$

$x=［a］_{A∪B}$ 　(∀-除去)

$a∈A∪B→a∈B∪A$

を示す．

$a∈A∪B$ 　i.e.　 $a∈A∨a∈B$ 　(和集合の定義)

$a∈B∪A$ 　i.e.　 $a∈B∨a∈A$

1　(1)　 $a∈A∨a∈B$ 　　仮定

2　(2)　 $a∈A$ 　　仮定

2　(3)　 $a∈B∨a∈A$ 　　2.∨-導入

4　(4)　 $a∈B$ 　　仮定

4　(5)　 $a∈B∨a∈A$ 　　4.∨-導入

1　(6)　 $a∈B∨a∈A$ 　　1,2-3,4-5.∨-除去

　 (7)　 $［a∈A∨a∈B］→［a∈B∨a∈A］$ 　　1-6.→-導入

　 (8)　 $［x∈A∨x∈B］→［x∈B∨x∈A］$ 　　 7.∀-導入

i.e.　 $x∈A∪B→x∈B∪A$

i.e.　 $A∪B⊆B∪A$

を得る．それゆえ，(3)の(ア)が示された．

(イ)について

　(ア)と同様に示される．▢