正則行列の性質　14項

$A：n次正方行列$

$A^{-1}：Aの逆行列$

とする．このとき， $A$ が正則なら， $A^{-1}$ も正則で

$(A^{-1})^{-1}=A$

が成立する．

(証明)

　 $A$ が正則であることを仮定し

(1)　 $A^{-1}$ が正則

(2)　 $(A^{-1})^{-1}=A$ と書ける

を示す．

$\mathbb{Z}^+=\{1,2,...,n,n+1,......\}$

$k=［n］_{\mathbb{Z}^+}$ 　s.t.　 $n:=1$

と置くと

$A=\mathbf{a}=a_1$

$A^{-1}=\mathbf{a}^{-1}=\displaystyle\frac{1}{a_1}$

で表示される．

(1)について

　数 $a_1$ に対して，数の性質より

$a_{1}^{-1}=\displaystyle\frac{1}{a_1}$

であり

$a_1×\displaystyle\frac{1}{a_1}=\displaystyle\frac{1}{a_1}×a_1,　a_1×\displaystyle\frac{1}{a_1}=1$

であるから $A^{-1}$ は正則である．

(2)について

$(A^{-1})^{-1}=(\mathbf{a}^{-1})^{-1}=\displaystyle\frac{1}{\displaystyle\frac{1}{a_1}}=a_1=A$

による．▢

日記2