日記2

自然演繹を積極的に用いたい．

絶対方程式・不等式

東京書籍『NEW ACTION FRONTIER 数学Ⅰ+ A』 2022

問　次の方程式，不等式を解け．

(ア)　 $|x|-3=0$

(解答の方針)

$x,y,z,......：1つの束縛変数$

$a,b,c,......：1つの自由変数$

$∃x∈\mathbb{R}$ 　s.t.　 $|x|-3=0$

i.e.　 $∃x［x∈\mathbb{R}∧|x|-3=0］\vdash ∃x［x∈\mathbb{R}∧［x=3∨x=-3］］$ を示す．

(解答)

1　(1)　 $∃x［x∈\mathbb{R}∧［|x|-3=0］$ 　前提

2　(2)　 $|a|-3=0$ 　仮定

i.e.　 $|a|=3$ 　i.e.　 $a=±3$ 　i.e.　 $a=3∨a=-3$

2　(3)　 $∃x［x∈\mathbb{R}∧［x=3∨x=-3］］$ 　2. ∃-導入

1　(4)　 $∃x［x∈\mathbb{R}∧［x=3∨x=-3］］$ 　1,2-3. ∃-除去

(イ)　 $2|x|$ > $4$

(解答の方針)

$∃x∈\mathbb{R}$ 　s.t.　 $2|x|$ > $4$

i.e.　 $∃x［x∈\mathbb{R}∧2|x|$ > $4 ］\vdash ∃x［x∈\mathbb{R}∧［x$ < $-2∧2$ < $x$ ］］を示す．

(解答)

1　(1)　 $∃x［x∈\mathbb{R}∧2|x|$ > $4 ］$ 　前提

2　(2)　 $2|a|$ > $4$ 　仮定

i.e.　 $|a|$ > $2$ 　i.e.　 $a$ < $-2∧2$ < $a$

2　(3)　 $∃x［x∈\mathbb{R}∧［x$ < $-2∧2$ < $x］］$ 　2. ∃-導入

1　(4)　 $∃x［x∈\mathbb{R}∧［x$ < $-2∧2$ < $x］］$ 　1,2-3. ∃-除去

(ウ)　 $4-|x|≥0$

(解答の方針)

$∃x∈\mathbb{R}$ 　s.t.　 $4-|x|≥0$

i.e.　 $∃x［x∈\mathbb{R}∧4-|x|≥0］\vdash ∃x［x∈\mathbb{R}∧［-4≤x∧x≤4］］$ を示す．

(解答)

1　(1)　 $∃x［x∈\mathbb{R}∧4-|x|≥0］$ 　前提

2　(2)　 $4-|a|≥0$ 　仮定

i.e.　 $-|a|≥-4$ 　i.e.　 $|a|≤4$ 　i.e.　 $-4≤a≤4$ 　

i.e.　 $-4≤a∧a≤4$

2　(3)　 $∃x［x∈\mathbb{R}∧［-4≤x∧x≤4］］$ 　2. ∃-導入

1　(4)　 $∃x［x∈\mathbb{R}∧［-4≤x∧x≤4］］$ 　1,2-3. ∃-除去