部分集合の不成立の例

$x,y,z,......：1つの束縛変数$

$a,b,c,......：1つの自由変数$

$S:=\{m|m=3s(s∈\mathbb{Z}^+)\}$ 　 $∀m［m∈S→∃s［m=3s∧s∈\mathbb{Z}^+］］$

$T:=\{n|n=6t(t∈\mathbb{Z}^+)\}$ 　 $∀n［n∈T→∃t［n=6t∧t∈\mathbb{Z}^+］］$

とする．このとき

$S⊂T$

は不成立である．

(証明の方針)

　 $S$ の要素(3の倍数)がすべて $T$ (6の倍数)に属するわけではない，ということを示したい．自然演繹ではどの段階で，この「属するわけではない」が言えるのかをたしかめる．

$\vdash∀x［x∈S→x∈T］$

1　(1)　 $∀x［x∈S→x∈T］$ 　　前提

1　(2)　 $a∈S→a∈T$ 　　1. ∀-除去

　ここで，たとえば $9∈S$ について考えてみる．この $9$ は $3$ の倍数であるが， $6$ の倍数ではない．したがって，(2)は言えないので，この判断は偽であることがわかる．

(証明)

　前提

$∀x［x∈S→x∈T］$ 　①

に対して∀-除去を適用する．このとき

$a∈S→a∈T$ 　②

と書けるかどうかを確かめてみたい．実際

$9∈S→￢(9∈T)$

であるから，①は不成立である(たとえば②で $6$ のように成立する場合もある)．したがって

$∀x［x∈S→x∈T］$

という判断は偽である．▢

日記2