第1章　練習問題1 (1)　必要十分条件のうち十分条件しか成り立たないこと　13項

$a,b,c,......：束縛変数$

$a_0,a_1,...,b_0,b_1,......：パラメタ$

$(G, \circ)：群(パラメタ)$

$e：Gの単位元(束縛変数)$

$a_0∈G$

$\mathbb{Z}^+=\{1,2,...,n_0,n_0+1,......\}$

$n_0=［1,2,......,n_0］_{\mathbb{Z}^+}$

$m_0=［1,2,......,m_0］_{\mathbb{Z}^+}$

とする．このとき次を示せ．

(1)　 $G$ の元の位数 $|a_0|:=n_0$ < $\infty$ とするとき $m_0∈\mathbb{Z}^+$ に対して

$a_{0}^{m_0}=e⇒n_0|m_0$

が成立する．

(記号の量化)

量化できるもの

$m_0,n_0,a_0$

①　 $m_0,n_0$ について

$n_0|m_0$ より

$m_0=n_0k$ 　　( $∃k∈\mathbb{\mathbb{Z}}$ )

$\{m|m=n_0k\}$ から $m_0$ は全称， $n_0$ は特称である，とわかる．これより

$∀m∃n∃k［m∈\mathbb{Z}^+⇒［［n∈\mathbb{Z}^+\leftrightarrow k∈\mathbb{Z}^+］\leftrightarrow ［m=nk］］］］$

例　 $n∈\mathbb{Z}^+\leftrightarrow k∈\mathbb{Z}^+$ とは何か？

集合 $\{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17\}$

を考える．このとき，たとえば $\{1,2,3,4\}\leftrightarrow \{2,4,6\}$ である，とする．すなわち

$n∈\{1,2,3,4\}\leftrightarrow k∈\{2,4,6\}$

$n$ と $k$ の共通部分は $\{2,4\}$

である．これより $m$ として $3,4,5,8,16$ を考えると

$3=「なし」4=2\cdot 2　5=「なし」8=2\cdot 4　16=4\cdot 4$

②　 $a_0$ について

$∀m∃a［m∈\mathbb{Z}^+⇒［a∈G\leftrightarrow a^m=e］］$

対象言語　 $a∈G\leftrightarrow a^m=e$

メタ言語　 $Gの元aとはaのm乗が単位元になることである$

(証明の方針)

(⇒)

$∀m∃a［m∈\mathbb{Z}^+⇒［a∈G\leftrightarrow a^m=e］］$

$\vdash ∀m∃n∃k［m∈\mathbb{Z}^+⇒［［n∈\mathbb{Z}^+\leftrightarrow k∈\mathbb{Z}^+］\leftrightarrow ［m=nk］］］］$

を示す．

1　　(1)　 $∀m∃a［m∈\mathbb{Z}^+⇒［a∈G\leftrightarrow a^m=e］］$ 　　前提

1　　(2)　 $∃a［m_0∈\mathbb{Z}^+⇒［a∈G\leftrightarrow a^{m_0}=e］］$ 　　1. ∀-除去

3　　(3)　 $m_0∈\mathbb{Z}^+⇒［a_0∈G\leftrightarrow a_{0}^{m_0}=e］$ 　　仮定

4　　(4)　 $m_0∈\mathbb{Z}^+$ 　　仮定

3,4　 (5)　 $a_0∈G\leftrightarrow a_{0}^{m_0}=e$ 　　3,4. ⇒-除去

i.e.　 $a_{0}^{m_0}=a_0+\cdots + a_0=e=a_0$

それゆえ $a_{0}^{m_0}=a_0$ である．すなわち $m_0=1$ ．これより $|a_0|=1$ であるから $n_0=1$ を得る．

3,4　 (6)　 $n_0|m_0$ 　i.e.　 $1=1\cdot 1$ 　　( $k_0=1$ )　　5.

3,4　 (7)　 $［n_0∈\mathbb{Z}^+\leftrightarrow k_0∈\mathbb{Z}^+］\leftrightarrow ［m_0=n_0k_0］$ 　　6.

3,4　 (8)　 $∃n∃k［n∈\mathbb{Z}^+\leftrightarrow k∈\mathbb{Z}^+］\leftrightarrow ［m_0=nk］］$ 　　

7. ∃-導入(2回適用)

1　　 (9)　 $∃n∃k［n∈\mathbb{Z}^+\leftrightarrow k∈\mathbb{Z}^+］\leftrightarrow ［m_0=nk］］$

8. ∃-除去(2回適用)

1　　 (10)　 $∀m∃n∃k［m∈\mathbb{Z}^+⇒［［n∈\mathbb{Z}^+\leftrightarrow k∈\mathbb{Z}^+］\leftrightarrow ［m=nk］］］］$

9. ∀-導入

(⇐)

$∀m∃n∃k［m∈\mathbb{Z}^+⇒［［n∈\mathbb{Z}^+\leftrightarrow k∈\mathbb{Z}^+］\leftrightarrow ［m=nk］］］］$

$\vdash ∀m∃a［m∈\mathbb{Z}^+⇒［a∈G\leftrightarrow a^m=e］］$

を考える．

1　(1)　 $∀m∃n∃k［m∈\mathbb{Z}^+⇒［［n∈\mathbb{Z}^+\leftrightarrow k∈\mathbb{Z}^+］\leftrightarrow ［m=nk］］］］$ 　　前提

1　(2)　 $∃n∃k［m_0∈\mathbb{Z}^+⇒［［n∈\mathbb{Z}^+\leftrightarrow k∈\mathbb{Z}^+］\leftrightarrow ［m_0=nk］］］］$ 　　1. ∀-除去

3　(3)　 $m_0∈\mathbb{Z}^+⇒［n_0∈\mathbb{Z}^+\leftrightarrow k_0∈\mathbb{Z}^+］\leftrightarrow ［m_0=n_0k_0］$ 　　

仮定(2回)

4　 (4)　 $m_0∈\mathbb{Z}^+$ 　　仮定

3,4 (5)　 $［n_0∈\mathbb{Z}^+\leftrightarrow k_0∈\mathbb{Z}^+］\leftrightarrow ［m_0=n_0k_0］$ 　　3,4. ⇒-除去

しかし，これ以上の論証はできないので，必要条件は成立しない．したがって，命題は十分条件のみが成り立つ，と考えられる．

日記2

自然演繹を積極的に用いたい．

第1章　練習問題1 (1)　必要十分条件のうち十分条件しか成り立たないこと　13項