整数全体の集合が整域を成すこと

$a,b,c,......：束縛変数$

$a_0,a_1,...,b_0,b_1,......：パラメタ$

とする．このとき $\mathbb{Z}$ は整域である．

(証明の方針)

$∀m,n∈\mathbb{Z}［m≠0\leftrightarrow n≠0］$

$\vdash ∀m,n∈\mathbb{Z}［m≠0\leftrightarrow n≠0⇒mn≠0］$

を示す．

1　(1)　 $∀m,n∈\mathbb{Z}［m≠0\leftrightarrow n≠0］$ 　　前提

1　(2)　 $m_0≠0\leftrightarrow n_0≠0$ 　　1. ∀-導入

3　(3)　 $m_0n_0≠0$ 　　仮定

反射的閉包で成り立つことは，非反射的閉包でも成立するので $m_0≠0$ の両辺に $n_0$ を右から掛けると

$m_0n_0≠0n_0$ 　　　( $0n_0=0$ )

i.e.　 $m_0n_0≠0$

を得るので，この仮定は妥当である．

1　(4)　 $m_0≠0\leftrightarrow n_0≠0⇒m_0n_0≠0$ 　　2-3. ⇒-導入

1　(5)　 $∀m,n∈\mathbb{Z}［m≠0\leftrightarrow n≠0⇒mn≠0］$ 　　4. ∀-導入

日記2