日記2

自然演繹を積極的に用いたい．

命題 1.2.12　概念の説明

新妻弘『独習ガロア理論』近代科学社 2023

　まず，ある環とは，任意の環ではなく1つの環のことをいう．1つの環とは，ものを数えるときに順序数のみを考えた1番目の環という意味である．

例　 $1つのA,B,C$

　これは $1番目のA，1番目のB，1番目のC$ を表す．

いま，計量数については考えていないので，たとえば1番目が3個というようにすることができる．

　次に任意の $A$ とは何か．これは順序数と計量数が一致しているときをいう．

例　 $\mathbb{N}=\{1,2,......,n,n+1,......\}$ 　 $∀k=［1,2,......,n］_{\mathbb{N}}$

$1番目　⇔　1個$

$2番目　⇔　2個$

$\cdots \cdots$

$k番目　⇔　k番目$

唯一性

$1番目　⇔　1個$

任意性と唯一性は近い概念だが，異なるものである．たとえば，集合の元が1個しかないときなど，特別な場合を考えたら，任意性と唯一性は一致する．

$\{S_λ\}_{λ∈Λ}$ とは何か？

　端的に集合の集合，すなわち集合を要素とする集合である．いわゆる集合族である．

例

　1つの集合(部分体) $S$ に対して，その族を $\{S\}$ と書く．いま $λ$ 個の $S$ がある．これを $\{S_λ\}_{λ∈Λ}$ で表す．但し $Λ$ は1つの集合である． $Λ$ を有限集合で考えると集合族 $\{S\}$ は

$\displaystyle\bigcap_{1,2}\{S_{1,2}\}=\{S_1\}∩\{S_2\}$

と書ける． $Λ$ が1つの集合という条件の時は外延を書けないので，何となくこれを想像するとよい．それに対して内包は

$\displaystyle\bigcap_{λ∈Λ}{S_λ}=\{X|∃λ∈Λ$ 　s.t.　 $X∈\{S_λ\}_{λ∈Λ}\}$

このような共通部分が出てきたら，共通部分(連言)の最小性より，集合 $S$ に対して

$S:=\displaystyle\bigcap_{λ∈Λ}{S_λ}$

と置いてしまえばよい．これで集合族の問題を共通部分をとることで，その最小性から集合の問題に置換できた．してみると， $S⊂R$ が何なのか，という問題に帰着できる． $S$ は $R$ の部分環であることは確かだが，それが体であるかどうかはまだわからない．今後の課題とする．