日記2

自然演繹を積極的に用いたい．

定理1.11　15項

難波誠『(数学シリーズ)微分積分学』裳華房 2022年第17版 12刷

定理1.11　15項

$x：個体変項(実数)$

$a：個体定項(実数)$

$f(x),g(x)：xの関数$

$A,B：関数の極限値$

$x→a$ のとき， $f(x)→A$ ， $g(x)→B$ とする．このとき

(ⅰ)　 $f(x)+g(x)$ 　 $→$ 　 $A+B$ 　( $x→a$ )

(ⅱ)　 $f(x)-g(x)$ 　 $→$ 　 $A-B$ 　( $x→a$ )

(ⅲ)　 $kf(x)$ 　( $kは定数(個体定項)$ )　 $→$ 　 $kA$ 　( $x→a$ )

(ⅳ)　 $f(x)g(x)$ 　 $→$ 　 $AB$ 　( $x→a$ )

(ⅴ)　 $\displaystyle\frac{f(x)}{g(x)}$ 　 $→$ 　 $\displaystyle\frac{A}{B}$ 　( $B≠0$ )　( $x→a$ )

と成る．

(証明)

　すべて同じ証明なので(ⅰ)のみを示す．

$x=［ε］_{\mathbb{R}^+}$ 　s.t.　( $∀ε∈\mathbb{R}^+$ )　①

$y=［δ］_{\mathbb{R}^+}$ 　s.t.　( $∃δ∈\mathbb{R}^+$ )　①

$z=［x］_{\mathbb{R}}$ 　s.t.　( $∀x∈\mathbb{R}$ )　②

$0$ < $| x-a|$ < $δ$ 　 $⇒$ 　 $|f(x)-A|$ < $ε$

を考える．

$ε:=1$

$δ:=2a$

に対して

$x:=0$

と置くと

$0$ < $| 0-a|=a$ < $2a$ 　 $⇒$ 　 $|f(0)-A|=|A-A|$ < $1$

☆　 $f(x)→A$ 　( $∀x∈\mathbb{R}$ )

i.e.

$0$ < $| x-a|$ < $δ$ 　 $⇒$ 　 $|f(x)-A|$ < $ε$

であるから

$|f(0)+g(0)-(A+B)|=|f(0)+g(0)-A-B|$

$=|f(0)-A+g(0)-B|=|A-A+B-B|=0$ < $1$

i.e.

$|f(x)+g(x)-(A+B)|=|A-A+B-B|$ < $ε$

を得る．▢