日記2

自然演繹を積極的に用いたい．

行列の演算と転置行列の意義　8項から

佐武一郎『線型代数学』裳華房 2023 新装第2版

行列の演算　8項

$A,B,C：行列$

$i,j=［1］$ 　s.t.　 $A:=(a_{ij}),B:=(b_{ij}),C:=(c_{ij})$

すなわち

$A=(a_{11})=\mathbf{a},B=(b_{11})=\mathbf{b},C=(c_{11})=\mathbf{c}$

で表す．

(10)　 $(AB)C=A(BC)$ 　　結合法則

(証明)

$(AB)C$

$=(\mathbf{a}\mathbf{b})\mathbf{c}$

$=(a_{11}b_{11})c_{11}$

$=a_{11}b_{11}c_{11}$ 　　(数の性質)

$A(BC)$

$=\mathbf{a}(\mathbf{b}\mathbf{c})$

$=a_{11}(b_{11}c_{11})$

$=a_{11}b_{11}c_{11}$ 　　(数の性質)

による．▢

(11)　 $A(B+C)=AB+AC$ 　　左側分配法則

(証明)

$A(B+C)$

$=\mathbf{a}(\mathbf{b}+\mathbf{c})$

$=a_{11}(b_{11}+c_{11})$

$=a_{11}b_{11}+a_{11}c_{11}$ 　　(数の性質)

による．▢

(12)　 $(A+B)C=AC+BC$ 　　右側分配法則

(証明)

$(A+B)C$

$=(\mathbf{a}+\mathbf{b})\mathbf{c}$

$=(a_{11}+b_{11})c_{11}$

$=a_{11}c_{11}+b_{11}c_{11}$ 　　(数の性質)

による．▢

(13)　 $c$ を数(スカラー，自由変項)とする．このとき

$(cA)B=A(cB)=c(AB)$

が成立する．

(証明)

$(cA)B$

$=(c\mathbf{a})\mathbf{b}$

$=(ca_{11})b_{11}$

$=ca_{11}b_{11}$ 　　(数の性質)

$=a_{11}cb_{11}$ 　　(数の性質)

$=a_{11}(cb_{11})$

である．また

$ca_{11}b_{11}=c(a_{11}b_{11})$ 　　(数の性質)

でもあるので(13)が成立する．▢

転置行列の意義　10項

　 $(n,m)型行列A:=(a_{ij})$ の行と列とを取りかえて得られる $(m,n)$ 型行列を $A$ の転置行列といい， $^tA$ で表す．すなわち

$A:=(a_{ij})$ に対して $^tA=(a_{ji})$

である．

(ア)　 $^t(A+B)=^tA+^tB$

(証明)

　与式の両辺が一致することを示す．

$^t(A+B)=a_{11}+b_{11}$

$^t(A+B)$

$=^t(a_{11}+b_{11})$

$=^tc_{11}$ 　　( $a_{11}+b_{11}:=c_{11}$ )

$=c_{11}$ 　　(数の性質)

$=a_{11}+b_{11}$

による．▢

(イ)　 $^t(cA)=c ×^tA$

(証明)

$^t(cA)$

$=ca_{11}$ 　　(数の性質)

$=c×^ta_{11}$

$=c ×^tA$

が成立する．▢

(14)　 $^t(AB)=^tB^tA$ 　s.t.　 $AB=BA$

(証明)

$^t(AB)$

$=^t(a_{11}b_{11})$

$a_{11}b_{11}$ 　　(数の性質)

$\mathbf{a}\mathbf{b}$

$=AB$

$^tB^tA$

$=^tb_{11}×^ta_{11}$

$=b_{11}a_{11}$

$=\mathbf{b}\mathbf{a}$

$=BA$

である．ここでもし $AB=BA$ が少なくとも1個成立すれば(14)を導出できる．▢