日記2

自然演繹を積極的に用いたい．

絶対不等式 1

東京書籍『NEW ACTION FRONTIER 数学Ⅰ+ A』 2022

絶対不等式

$\vdash 2|x|$ > $4$ を解け．

(解答)

$∀x［x∈\mathbb{R}→∃x［x∈\mathbb{R}∧x=a］］$

$x=［a］_{\mathbb{R}}$ 　(∀-除去)　s.t.

$2|a|$ > $4$ を $a$ について解く．

$2|a|$ > $4$ 　i.e.　 $|a|$ > $2$ 　i.e.　 $a$ < $-2∧2$ < $a．$

これより

1　(1)　 $a$ < $-2∧2$ < $a$ 　　仮定

1　(2)　 $a$ < $-2$ 　　1.∧-除去

i.e.　 $a≤2∧￢(a=-2)$

1　 (3)　 $a≤-2$ 　　2.∧-除去

i.e.　 $a$ < $-2∨a=-2$ 　　

1　 (4)　 $￢(a=-2)$ 　　2.∧-除去

1　 (5)　 $a$ < $-2$ 　　3,4.選言三段論法

1　 (6)　 $2$ < $a$ 　　1.∧-除去

i.e.　 $2≤a∧￢(2=a)$

1　 (7)　 $2≤a$ 　　6.∧-除去

i.e.　 $2$ < $a∨2=a$

1　 (8)　 $￢(2=a)$ 　　6.∧-除去

1　 (9)　 $2$ < $a$ 　　7,8.選言三段論法

1　 (10)　 $a$ < $-2∧2$ < $a$ 　　5,9.∧-導入

　　(11)　 $a$ < $-2∧2$ < $a$ 　　1-10.∨-除去

　　(12)　 $x$ < $-2∧2$ < $x$ 　　11.∀-導入